Un solido, che gode della proprietà che i suoi due momenti principali di inerzia A e B sono uguali, e rotante intorno ad un punto fisso, si chiama giroscopio simmetrico. Ed il suo terzo asse principale d'inerzia si chiama asse di simmetria del giroscopio.
Il tipo più importante di movimento di un giroscopio è detto moto di precessione. Lo si può dedurre facendo ruotare il corpo intorno al suo asse di simmetria
con velocità angolare
, e facendo contemporaneamente ruotare l'asse di simmetria con velocità angolare
intorno ad un asse fisso nello spazio per esempio l'asse
In questo caso l'asse di simmetria descrive una superficie conica, il cui angolo di semiapertura indicheremo con
Il vettore
, risultante di
e
ruota anche lui intorno all'asse
Vogliamo ora studiare il problema del moto di un giroscopio allorquando il sistema di forze ad esso applicato è un sistema nullo.
In questo caso, considerando che per tutti gli assi normali a
accade che A=B, le equazioni di Eulero si riducono alle seguenti:



Le componenti di
sugli assi mobili
,
,
, valgono:



L'ultima delle equazioni di Eulero:

porta subito alla conclusione che
sono costanti ed indipendenti dal tempo.
Sostituendo i valori di
nelle due prime equazioni di Eulero e sommandole otteniamo l'unica soluzione:

La quale ci fornisce, dati i valori di
e
il valore della velocità di precessione quando il giroscopio non è soggetto ad azioni esterne cioè:

Possiamo subito notare che nel caso di
e
la velocità
ha lo stesso senso di
per
A parità di momenti d'inerzia A e C il senso di moto si inverte per
cioè se
è un angolo ottuso.
Consideriamo il piano
questo incontrerà il piano
lungo una retta
Essendo
una retta del piano
ed essendo tutti assi principali di inerzia le rette passanti per
e giacenti in
abbiamo:


e tenendo conto che la precessione è libera

Cioè

ovvero

Per cui le componenti di
sono


Cioè il vettore momento della quantità di moto
è fisso nello spazio e giacente come
su
e con modulo costante

o in funzione di
Cioè possiamo concludere che nel moto di precessione libero di un giroscopio con velocità di precessione
i quattro vettori
giacciono sempre sul piano rotante
.
Abbiamo visto nel precedente paragrafo come mediante l'applicazione delle equazioni di Eulero è possibile risolvere il caso di un giroscopio non soggetto ad azioni di forze esterne ed abbiamo trovato l'espressioni che danno la velocità di precessione libera o regolare di un giroscopio.
Vogliamo ora vedere quale è il valore del momento delle forze che devono agire sul giroscopio nel caso che la velocità di precessione non soddisfi la

Per trovare il valore di questo momento possiamo fare ricorso all'equazione cardinale della dinamica scritta per assi fissi

abbiamo visto infatti che nel caso di precessione libera
, se
Ora se
sono costanti ma non soddisfano le condizioni di precessioe, il vettore
avrà modulo costante e risulterà applicato in
e ruoterà con velocità angolare
rispetto a
. Per cui ricordando che le derivate di un vettore ruotante
, se
è la velocità di rotazione, è dato da

otteniamo che

Nel riferimento preso abbiamoche



Mentre
ha componenti


Ricordando la regola del prodotto vettoriale si trova che
ha una sola componente normale al piano
ed è dato quindi da
![{\displaystyle \ M=[C\omega +(C-A)\omega _{1}\cos \theta ]\omega _{1}\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab7956c0f55c69a5488035fcb75addfba4b8bb5)
Consideriamo il caso di un giroscopio di peso P che ruoti intorno al suo asse di simmetria con velocità
, e con velocità
ntorno ad un asse normale all'asse di simmetria.
In questo caso
per cui
|
Ora il momento esterno applicato
è uguale al peso per il braccio 'l' del baricentro G da O. Per cui in definitiva avremo
|
Cioè il giroscopio per effetto delle forze d'inerzia starà in equilibrio se
è tale che:
|
o viceversa:
.
|