Meccanica razionale/Dinamica/Punto materiale

Le tre leggi fondamentali che regolano il moto dei corpi sotto l'azione di determinate forze sono le seguenti (leggi di Newton):

-PRIMA: ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto uniforme rettilineo, finché qualche forza impressa non lo costringa a cambiarlo (legge d'inerzia).

-SECONDA: la variazione dello stato di moto è proporzionale alla forza motrice impressa ed avviene nella direzione e verso di tale forza.

-TERZA: la reazione è sempre uguale e contraria all'azione: cioè le mutue azioni di due corpi qualunque sono sempre uguali e dirette in senso opposto.

Seconda legge della dinamica

La seconda legge della dinamica esprime la proporzionalità in senso vettoriale fra la forza e la derivata vettoriale del vettore $m{\bar {\mathbf {v} }}$. Cioè:

(1)

${\bar {\mathbf {F} }}={d \over dt}(m{\bar {\mathbf {v} }})$

Il vettore $m{\bar {\mathbf {v} }}$ rappresenta la quantità di moto del punto materiale considerato ed è dato dal prodotto dello scalare m massa del corpo per il vettore ${\bar {\mathbf {v} }}$ velocità assoluta del corpo. La massa del corpo è data invece dal rapporto fra il peso ${\bar {\mathbf {P} }}$ del corpo e l'accelerazione di gravità ${\bar {\mathbf {g} }}$.

Nel caso che m=cost la (1) si trasforma nella seguente:

(2)

${\bar {\mathbf {F} }}=m{d \over dt}{\bar {\mathbf {v} }}(t)=m{\bar {\mathbf {a} }}$

Essendo ${\bar {\mathbf {a} }}$ l'accelerazione assoluta del punto materiale, cioè l'accelerazione del punto misurata rispetto ad un sistema di riferimento fisso o che si muove di moto uniforme rettilineo (terna di riferimento inerziale).

Quindi la formula:

${\bar {\mathbf {F} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}$

per essere applicata correttemente deve sempre essere intesa come riferita ad un sistema fisso o che si muove di moto uniforme rettilineo.

Espressione delle equazioni del moto di un punto rispetto ad un riferimento fisso

Se consideriamo una terna di riferimento fissa nello spazio e se chiamiamo con $F_{x}$, $F_{y}$, $F_{z}$, le componenti secondo i tre assi della forza ${\vec {F}}$ la (2) si riduce alle tre seguenti espressioni scalari:

$m{\ddot {x}}=F_{x}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

(3)

$m{\ddot {y}}=F_{y}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m{\ddot {z}}=F_{z}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

Essendo le derivate seconde rispettivamente di x,y,z le componenti dell'accelerazione di un centro di riduzione T rispetto ai tre assi.

Le $F_{x}$, $F_{y}$ e $F_{z}$ in generale sono funzioni delle coordinate e delle derivate del centro di riduzione e del tempo, per cui le (3) costituiscono un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine.

La loro intrgrazione fornisce le funzioni incognite $\ x(t),\ y(t),\ z(t)$ che definiscono completamente il moto del punto.

È ovvio che per l'integrazione di queste equazioni devono essere note le condizioni iniziali che devono essere in questo caso 6.

Ad esempio per $\ t=t_{0}$

(4)

${\dot {x}}=x_{0}\qquad {\dot {y}}=y_{0}\qquad {\dot {z}}=z_{0}$

$\ x=x_{0}\qquad y=y_{0}\qquad z=z_{0}$

Quindi le (3) insieme alle (4) permettono la risoluzione completa del problema dinamico del punto materiale.

Espressione delle equazioni del moto di un punto rispetto ad un riferimento mobile

Come abbiamo detto l'espressione (2) è valida scritta in quella forma solo se ${\vec {a}}$ è l'accelerazione assoluta del punto, cioè sia l'accelerazione rispetto ad un sistema fisso o mobile di moto rettilineo. Quindi se il sistema di assi $O,x,y,z$ è mobile di moto qualsiasi non possiamo scrivere le (2) come abbiamo fatto precedentemente perché, come abbiamo visto, ${\ddot {x}},{\ddot {y}},{\ddot {z}}$ rappresentano le componenti dell'accelerazione relativa a $O,x,y,z$ mentre l'accelerazione assoluta è espressa da:

${\vec {a_{a}}}={\vec {a_{r}}}+{\vec {a_{t}}}+{\vec {a_{c}}}$

Per cui le (2), nel caso di un sistema di assi mobili, si riduce alle seguenti equazioni scalari sugli assi mobili:

$m(a_{rx}+a_{tx}+a_{cx})=X(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m(a_{ry}+a_{ty}+a_{cy})=Y(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m(a_{rz}+a_{tz}+a_{cz})=Z(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

E ricordando che $a_{rx}={\ddot {x}},a_{ry}={\ddot {y}},a_{rz}={\ddot {z}}$, otteniamo le seguenti equazioni:

$m{\ddot {x}}=X-m(a_{tx}+a_{cx})$

(5)

$m{\ddot {y}}=Y-m(a_{ty}+a_{cy})$

$m{\ddot {z}}=Z-m(a_{tz}+a_{cz})$

Le (5) differiscono dalle (3) solo per i termini, $-m(a_{tx}+a_{cx})$..etc., che possono essere considerate come le componentidi una forza ${\vec {F_{a}}}$, detta forza apparente o fittizia del moto relativo. Se la terna O,x,y,z si muove di moto rettilineo uniforme ${\vec {a{c}}}={\vec {a_{t}}}=0$ per cui le (5) sono identiche alle (3).

Possiamo quindi concludere che per studiare il moto, nel caso che il sistema di riferimento sia mobile, occorre dire che la massa moltiplicata per l'accelerazione del punto rispetto al sistema mobile è uguale alla forza esterna effettivamente applicata più la forza apparente del moto relativo.

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