Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.
Chiameremo con
e
due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della
, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della
.
Se
e
sono due punti corrispondenti, il vettore
dicesi lo spostamento del punto
. Se:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}={\bar {\mathbf {{B_{1}}{B_{2}}} }}=.....={\bar {\mathbf {{N_{1}}{N_{2}}} }}={\bar {\mathbf {a} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db6d1286057bb960cfd1de54263da24c2187f58)
cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione
è dedotta da
mediante una traslazione semplice di vettore
.Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra
, vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di
ed
A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra
e
, poiché
![{\displaystyle {\vec {AA'}}={\vec {BB'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bb0da131aab756e4cb100348068a4428f5aa02)
e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di
descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.
Si Consideri il caso limite di moto rigido puramente traslatorio su traiettoria circolare (fig.1), presi due punti qualsiasi A e B sul corpo rigido, notiamo come la retta che li unisce si mantenga sempre parallela a se stessa. Contrariamente in (fig.2) si vede il corpo essere dotato di moto rotatorio attorno al suo asse e tutti i punti (Elementi) che lo compongono si muovono su circonferenze concentriche.
Supponiamo ora che le due figure componenti
e
abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.
Consideriamo ore un punto
di
non appartenente all'asse, e sia
il suo corrispondente in
. Mandiamo dal punto
la normale O
all'asse, e conduciamo anche la O
, la O
risulterà, essendo
corrispondente di
, normale all'asse ed
.
Allora facendo descrivere a
l'arco di cerchio
, la figura
si sovrapporrà ad
, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano
formato da
e l'asse, per andare a coincidere con il piano
formato da
e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.
Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se
è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:
![{\displaystyle {\dot {\theta }}={d \over dt}\theta (t)=\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4216ffc22a25881c385c90ebb22a98f6e46993)
Nel caso che
![{\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}\theta (t)={\ddot {\theta }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7427b965983fc95c1e7afe4854aca625d95bc9)
si dice che il moto è di rotazione uniforme.
Si chiama vettore velocità angolare, il vettore
che ha per modulo
, direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti
orario.
Velocità di un punto P in un moto rotatorio.
Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cb00ed02a4cc2d72d4ddc13b2ad84c4fd10312)
Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità
intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza
, si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.
Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con
e
le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:
|
Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento
,
,
, e se
,
,
sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che
![{\displaystyle {\vec {OP}}=x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29262516c9eb6d428daf2cda7ddc53ff255904d)
Per cui la velocità di P,
, è uguale a
, mentre quella di O,
, è data da
. Posto ciò abbiamo che:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {OP}}={d \over dt}{\vec {O_{1}P}}-{d \over dt}{\vec {O_{1}O}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f5094f5397fe0552fad68fdd302c9a353f92cf)
Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}+x{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}+y{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}+z{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf18e800312767523876e45443c18077bfda77b)
Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che
. La (8) si riduce allora a:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+x{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}+y{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}+z{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8382fec62b455d69138f17578cbe5770f7085fd4)
Vogliamo ora dimostrare che:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{d \over dt}{\hat {\mathbf {i} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}\\{d \over dt}{\hat {\mathbf {j} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}\\{d \over dt}{\hat {\mathbf {k} }}={\vec {\Omega }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdbb7c7a148fe49910f93e4732c89d3ff95348e)
Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:
prodotto vettoriale |
prodotto scalare
|
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}={\hat {\mathbf {k} }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7d53162284430ab8f401025175cba751bdb4fa) |
|
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}=-{\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b893a91f6be785ccffedfda58cd401c13b2d12b6) |
|
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\wedge {\hat {\mathbf {k} }}=-{\hat {\mathbf {k} }}\wedge {\hat {\mathbf {j} }}={\hat {\mathbf {i} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d6c7b4f3195ba856e7d57435a4fb3def4cc4b8) |
|
Inoltre possiamo scrivere:
![{\displaystyle {d \over dt}({\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {i} }})={\hat {\mathbf {i} }}\times {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}+{d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }}=2({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97804662f196636ed14a8736ea419022cebb3bd2)
![{\displaystyle {d \over dt}({\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {j} }})={d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {i} }}\times {d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406ff971cd82ef4b70c23f85d00c58787342a9ce)
![{\displaystyle {d \over dt}({\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {k} }})={d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }}+{\hat {\mathbf {j} }}\times {d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655073e60dac4572de5f367be94b3edd23d191d8)
|
|
|
Il vettore
potrà essere espresso in generale come:
![{\displaystyle {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}=a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6ae0dd4aae8d33b6c6ef098d11137dabe7c3b1)
Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per
,
,
otteniamo:
![{\displaystyle {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}=a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aaaa3ed4cb42c2a8fa9217031b6ad3b84ffc3a6)
![{\displaystyle {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {j} }}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7d0720c6e65423474e5d75bfa90a9c005e183b)
![{\displaystyle {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }}=a{\hat {\mathbf {i} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {k} }}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0352f739fef7b0170a508de6ff7b9f242ac9ba8f)
Si ottiene
![{\displaystyle {d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}=({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }})\cdot {\hat {\mathbf {j} }}+({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }})\cdot {\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36f322a0c89b222cf0fac4e058fd53ecf8e31f7)
.
E se definiamo:
![{\displaystyle {\vec {\Omega }}=({d{\hat {\mathbf {j} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {k} }})\cdot {\hat {\mathbf {i} }}+({d{\hat {\mathbf {k} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {i} }})\cdot {\hat {\mathbf {j} }}+({d{\hat {\mathbf {i} }} \over dt}\times {\hat {\mathbf {j} }})\cdot {\hat {\mathbf {k} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55801be88cab0d918c13191cea7ded801721cbe4)
otteniamo le (10):
ed analoghe.
|
Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4c128e2c656870fc4d8af87d3bb78289719c2e)
Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed
il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {v_{p}}}={d \over dt}{\vec {v_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {d \over dt}{\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b941623ad8ae899cc875beb69f770f34377b699)
Cioè:
|
In quanto per le (13) si ha:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {(OP)}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {V_{0}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92175915e5da3ac5232fb153beab795d02f3150)
E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:
![{\displaystyle {\vec {\Omega }}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}})=({\vec {\Omega }}\times {\vec {(OP)}})\cdot {\vec {\Omega }}-({\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }})\cdot {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82eb23d6023f5b583df237847bbbc953e2ad896)
Le espressioni cartesiane delle componenti di
rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:
![{\displaystyle {\ddot {x}}={\dot {u_{0}}}+(px+qy+rz)p-(p^{2}+q^{2}+r^{2})x+({\dot {q}}z-{\dot {r}}y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91dc832651f1b4e74efa1f14588116a178c35887)
![{\displaystyle {\ddot {y}}={\dot {v_{0}}}+(px+qy+rz)q-(p^{2}+q^{2}+r^{2})y+({\dot {r}}x-{\dot {p}}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31ca15d5eceec0396880c6c18892cdecb696ca9)
![{\displaystyle {\ddot {z}}={\dot {w_{o}}}+(px+qy+rz)r-(p^{2}+q^{2}+r^{2})z+({\dot {p}}y-{\dot {q}}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d659c16c5d0c30f6f9a2cd79157583b2569587)
Essendo
le componenti di
rispetto agli assi mobili
e
le componenti di
in definitiva avremo
![{\displaystyle {\ddot {x}}={\dot {u_{o}}}-(q^{2}+r^{2})x+(qy+rz)p+({\dot {q}}z-{\dot {r}}y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8418b384461202093563970f95adddd9221245e)
![{\displaystyle {\ddot {y}}={\dot {v_{o}}}-(p^{2}+r^{2})y+(px+rz)q+({\dot {r}}x-{\dot {p}}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9970b9ffb58db3855b96f35b8cc788621287e5ce)
![{\displaystyle {\ddot {z}}={\dot {w_{o}}}-(p^{2}+q^{2})z+(px+qy)r+({\dot {p}}y-{\dot {q}}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851371bfb084bcce76b6d2c42f5c8c707cac2635)
...
Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili
sono date proiettando la formula fondamentale:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}\wedge ({\vec {OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6020744c38e1c651cd032f32a42d78ca1637e724)
sugli assi
.
Chiamando con
le componenti della velocità assoluta di
(traslazione) in tre assi
(mobili), e con
le componenti del vettore velocità angolare
in tre assi mobili otteniamo:
|
|
|
I valori
si chiamano i sei parametri del moto rigido.