Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi

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Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione[modifica]

Chiameremo con e due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della , non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della .

Se e sono due punti corrispondenti , il vettore dicesi lo spostamento del punto . Se:

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione è dedotta da mediante una traslazione semplice di vettore .Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra e , poiché

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Si Consideri il caso limite di moto rigido puramente traslatorio su traiettoria circolare (fig.1), presi due punti qualsiasi A e B sul corpo rigido, notiamo come la retta che li unisce si mantenga sempre parallela a se stessa. Contrariamente in (fig.2) si vede il corpo essere dotato di moto rotatorio attorno al suo asse e tutti i punti (Elementi) che lo compongono si muovono su circonferenze concentriche. MotoTraslatorio-rotatorio.jpg

Moto rotatorio[modifica]

Supponiamo ora che le due figure componenti e abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto di non appartenente all'asse, e sia il suo corrispondente in . Mandiamo dal punto la normale O all'asse, e conduciamo anche la O, la O risulterà, essendo corrispondente di , normale all'asse ed .

Allora facendo descrivere a l'arco di cerchio , la figura si sovrapporrà ad , in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano formato da e l'asse, per andare a coincidere con il piano formato da e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare[modifica]

Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

Nel caso che

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale[modifica]

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore che ha per modulo , direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.


Velocità di un punto P in un moto rotatorio.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

Moto elicoidale[modifica]

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi[modifica]

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con e le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:


Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento , , , e se , , sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

Per cui la velocità di P, , è uguale a , mentre quella di O, , è data da . Posto ciò abbiamo che:

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che . La (8) si riduce allora a:

Vogliamo ora dimostrare che:

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale prodotto scalare

Inoltre possiamo scrivere:






Il vettore potrà essere espresso in generale come:

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per , , otteniamo:

Si ottiene

.

E se definiamo:

otteniamo le (10):

ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido[modifica]

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

Cioè:

In quanto per le (13) si ha:

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

Le espressioni cartesiane delle componenti di rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

Essendo le componenti di rispetto agli assi mobili e le componenti di in definitiva avremo

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi[modifica]

...

Velocità[modifica]

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili sono date proiettando la formula fondamentale:

sugli assi .

Chiamando con le componenti della velocità assoluta di (traslazione) in tre assi (mobili), e con le componenti del vettore velocità angolare in tre assi mobili otteniamo:

I valori si chiamano i sei parametri del moto rigido.