Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Momenti di inerzia

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Teoria dei momenti d'inerzia[modifica]

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

essendo la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

Nel caso che si abbia un sistema continuo, la definizione è perfettamente valida; basta introdurre la densità del sistema e scrivere:

essendo dv l'elemento infinitesimo di volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

Essendo:

o, nel caso di un sistema continuo:

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

--Teorema di Huygens

Se I è il momento d'inerzia di S rispetto ad a, il momento d'inerzia S rispetto ad , retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

-Teorema sul modo di variare di I al variare dell'asse 'a' entro una stella di centro 'O'.

Fissato un punto 'O' prendiamo una terna ortogonale 'Oxyz' di centro 'O' e consideriamo una retta generica 'r' passante per 'O', definita dai suoi tre coseni direttori 'α', 'β', 'γ' rispetto agli assi 'x','y', 'z'.

Si dimostra abbastanza facilmente che

Consideriamo ora l'elissoide d'equazione:

questo elissoide ha la proprietà che se si indica con 'L' un suo punto, la quantità:

dà il momento d'inerzia rispetto alla retta 'OL'

Ora se come terna di assi di riferimento si prendono i tre assi principali dell'elissoide si ottiene:

e l'elissoide si riduce a:

mentre il momento d'inerzia è dato semplicemente da:

Ora 'A','B','C' prendono il nome di momenti principali d'inerzia. Se 'O'='G' baricentro l'elissoide si chiama elissoide centrale ed 'A','B', 'C' si chiamano momenti centrali d'inerzia.

La ricerca degli assi principaliè assai semplificata nei seguenti casi particolari che si presentano di frequente.

--a)Se 'S' ammette un piano di simmetria in ogni punto di questo piano la normale al piano coincide con uno degli assi principali d'inerzia.

--b)Se un corpo ha due piani di simmetria ortogonali, sono assi principali la retta e le due rette in 'O' normali ai piani e .