Analisi matematica/Classificazione delle equazioni

a) Equazione differenziale a derivate ordinarie di ordine n, forma tipica

$\ F(x,y,{dy \over dx},{d^{2}y \over dx^{2}},.....{d^{n}y \over dx^{n}})=0$

b) Equazionne differenziale a derivate parziali di ordine n, forma tipica

$\ \Phi (x,y,z,{\partial z \over \partial x},{\partial z \over \partial y},{\partial ^{2}z \over \partial x^{2}},......{\partial ^{n}z \over \partial x^{n}},.....{\partial ^{n}z \over \partial y^{n}})=0$

Nella prima equazione l'incognita è la funzione:$\ y=f(x)$ e nella seconda è la funzione: $\ z=\phi (x,y)$.

L'equazione a) o b) si dice lineare, quadratica, o cubica ecc. secondoché le funzioni $\ F$, $\ \Phi$ sono rispetto a y o z e alle loro derivate di 1°, 2°, 3° ecc.

Esempi:

$\ 1)$

$\ xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{dx \over dy}=0$

è una equazione differenziale alle derrivate ordinarie lineare di primo ordine.

$\ 2)$

$\ 7{d^{3}y \over dx^{3}}-{d^{2}y \over dex^{2}}-3{dy \over dx}+y=0$

è una equazione differenziale ordinaria lineare di terzo ordine.

$\ 3)$

$\ {\partial ^{2}z \over \partial y^{2}}-a^{2}{\partial ^{2}z \over \partial x^{2}}=0$

è una equazione differenziale alle derivate parziali di secondo ordine.