Analisi matematica/Esempi di integrali non immediati

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Indice

1 Esempi di calcolo di integrali non immediati

[modifica] Esempi di calcolo di integrali non immediati

[modifica] esercizio 1°

$\ \int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

Si ha: $\ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,

$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{c_{1}}{x-2}+\frac{c_{2}}{x-3}$ ,

$\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3 c_{1}-2 c_{2}$ ,

da cui:

$\left\{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}\right.$

Risolvendo il sistema si ha: $\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$

Quindi:

$\int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\ \int_{}\frac{-3}{x-2}dx+\ \int_{}\frac{4}{x-3}dx=log\frac{(x-3)^4}{(x-2)^3}$

[modifica] esercizio 2°

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+1)}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:

$\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{c_{1}}{x-1}+\frac{c_{2} x+c_{2}}{x^2+1}=\frac{3}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{x+1}{x^2+1}$

Quindi:

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx=x+\frac{3}{2}log(x-1)-\frac{1}{4}log(x^2+1)-\frac{1}{2} arc\ tang (x)=$

$=x+log\sqrt \frac{(x-1)^3}{\sqrt (x^2+1)}-\frac{1}{2}arc\ tang (x)$

[modifica] esercizio 3°

$\int{}{}{x^3-x^2+1\over (1+x^2)^3}dx$

Applicando la formula notevole $\int{}{}{A(x)\over (ax^2+b)^n}dx={\sum _{i=1}^{2n-2}c_{i} x^{i-1}\over (ax^2+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^2+b)+c_{2n} I_{0}(x)$

Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:

$\ c_{1}={1\over 4}\quad c_{2}={-1\over 2}\quad c_{3}={3\over 4}\quad c_{4}={-1\over 4}\quad c_{5}=0\quad c_{6}={1\over 4}$

[modifica] esercizio 4°

$\int{}{}{x-1\over \sqrt[2]{x}+\sqrt[3]{x}}dx$

ponendo $:\qquad x=t^6\qquad dx=6t^6 dt\qquad si\ ha$

$\int{}{}{x-1\over \sqrt[2]{x}+\sqrt[3]{x}}dx=6 \int{}{}{(t^6-1) t^3\over t+1} dt=6\int{}{}(t^5-t^4+t^3-t^2+t-1)t^3 dt$

$=6\int{}{}(t^8-t^7+t^6-t^5+t^4-t^3) dt={2\over 3}t^9-{3\over 4}t^8+{6\over 7}t^7-t^6+{6\over5}t^5-{3\over2}t^4=$

$={2\over 3}x^{3\over 2}-{3\over 4}x^{4\over 3}+{6\over 7}x^{7\over 6}-x+{6\over 5}x^{5\over 6}-{3\over 2}x^{2\over3}.$

[modifica] esercizio 5°

$\int_{}{}{a\over \sqrt[2]{4x^2+x-3}}dx$

Si può eseguire con la posizione: $\sqrt[2]{4x^2+x-3}=t-2x$ in virtù della quale si riduce razionale in t; ma più rapidamente si risolve con la formula .....sugli integrali non immediatidi funzioni irrazionali: