Analisi matematica/Serie

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

a) Data una serie di funzioni:

\ f_{1}(x)+f_{2}(x)+....+f_{n}(x)+...

si dice che essa è uniformemente convergente in un intervallo (a,b), quando, dato un \ \epsilon arbitrario, esiste un indice \bar n tale che , essendo \ n>\bar n e qualunque sia x in (a,b) si ha:

\ |R_{n}(x)|\le\epsilon.

Se in un intervallo (a,b) si ha: \ |f_{n}(x)|\le \alpha_{n}, essendo \sum_{}^{}\alpha_{n} una serie di numeri positivi convergente, la serie \sum_{}^{}f_{n}(x) è uniformemente convergente in (a,b).

b) Una serie di funzioni continue uniformemente convergenti in un intervallo (a,b) è una funzione continua in (a,b).

c) Una serie di potenze:

\ a_{0}+a_{1}x + a_{2} x^2 + ...+ a_{n} x^n+...

se converge per un valore x= x0, converge per ogni valore di x tale che:

d) Una serie di potenze converge assolutamente ed uniformemente in ogni intervallo interno al suo intervallo di convergenza.

e) Le serie:

\sum_{n=1}^\infty x^n,\qquad \sum_{n=1}^\infty {x^n\over n},\qquad \sum_{n=1}^\infty {x^n\over n^2}.

hanno per intervallo di convergenza l'intervallo (-1,+1). Negli estremi di questo intervallo la prima non converge perché il suo termine generale non tende a 0; la seconda converge per x=-1, diverge per x=1', la terza converge assolutamente tanto per x=1, quanto per x=-1.

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_matematica/Serie"
Strumenti personali