Analisi matematica/Numeri complessi

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Indice

[modifica] Nomenclatura

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni

\ a = parte reale \ \left( a\in R \right);

\ b = parte immaginaria \ \left( b\in R \right);

\ \rho = modulo;

\ \theta = fase (o argomento);

\ i = unità immaginaria

[modifica] Definizioni

Una coppia ordinata \ (a,b) di numeri reali, tali che:

a):\qquad (a,b)= (a^{,},b^{,}) se \ a=a^{,}, b=b^{,},

b):\qquad (a,0)=a numero reale,

c):\qquad (a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),

d):\qquad (a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(aa^{,}-bb^{,}),ab^{,}+a^{,}b),

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

  1. algebrica:\ (a,b)=a+ib, dove \ i=(0,1)= unità immaginaria;
  2. trigonometrica: \ a+ib=\rho(cos\theta+i\ sin\theta)
  3. geometrica: mediante un punto \ P\equiv (a,b) di coordinate \ (a,b) in un sistema cartesiano; il punto \ P si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gaus.

[modifica] Operazioni

[modifica] Addizione

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

\ z_1=a+ib

\ z_2=a'+ib'

\ z_3=z_1+z_2=(a+ib)+(a'+ib')=(a + a')+ i(b + b')

[modifica] Sottrazione

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.

\ z_1=a+ib

\ z_2=a'+ib'

\ z_3=z_1-z_2=(a+ib)-(a'+ib')=(a - a')+ i(b - b')

[modifica] Moltiplicazione

\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),

ovvero:

[\ \rho(cos\theta+i\sin\theta)]\cdot [\rho'(\cos\theta'+i\sin\theta')]=\rho\rho'[cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')],

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

[modifica] Divisione

{a+ib\over a'+ib'}={(a+ib)(a'-ib')\over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab')\over a'^{2}+b'^{2}}

ovvero:

{\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\over \rho'(cos\theta'+i\sin\theta')}={\rho\over \rho'}[cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]

[modifica] Elevazione a potenza

\ (a+ib)^{n}=[\rho(cos\theta+i\sin\theta)]^{n}=\rho^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)

(formula di Moivre).

In particolare:

i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1

[modifica] Potenza con esponente immaginario

\ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)=\rho e^{i\theta}=e^{log \rho+i\theta}

[modifica] Estrazione di radice

\sqrt[n]{a+ib}=\sqrt[n]{\rho\ (cos\theta+i\ sin\theta)}=\sqrt[n]{\rho}\ [cos{\theta+2k\pi\over n}+i\ sin{\theta+2k\pi\over n}]

con:\qquad \ k=0,1,2...n-1.

Questi \ n numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia: \ x^{n}=a+ib.

In particolare:

\sqrt[n]{1}=cos{2k\pi\over n}+i\ sin{2k\pi\over n},\qquad \sqrt[n]{-1}=cos{(2k+1)\pi\over n}+i\ \sin{(2k+1)\pi\over n}
dove :\qquad k=0,1,2...n-1


[modifica] Logaritmo di un numero complesso

\log[\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]=log\ \rho+i\theta+2k\pi i,\qquad k=0,1,2...

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

[modifica] Legami particolari tra numeri complessi

[modifica] Numeri complessi coniugati

Due numeri:

\ z_1=a+ib

\ z_2=a-ib

si dicono: complessi coniugati e si indica \ z_2=\overline{z_1}.

I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:

  1. la loro somma è \ 2a;
  2. il loro prodotto é \ a^2+b^2;
  3. i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse \ x

[modifica] Numeri contrari

Due numeri:

\ z_1=a+ib

\ z_2=-a-ib

si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.


[modifica] Numeri reciproci

Due numeri complessi si dicono reciproci se:

  1. i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse \ x
  2. i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro \ 0 e raggio \ 1

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