Analisi matematica/Esempi di calcolo di integrali definiti

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[modifica] Esempi di calcolo di integrali definiti

$\qquad \int_{1}^a {1\over x}dx=(\log x)_{1}^a=\log a$
$\qquad \int_{\gamma}^{} (x+y)dx$

essendo $\ \gamma$ l'arco di una parabola $\ y=ax^2$ compreso fra $\ x=0$ e $\ x=m:$

$\int_{\gamma}^{} (x+y)dx=\int_{0}^m (x+ax^2)dx=({x^2\over 2}+a{x^3\over 3})_{0}^m={m^2\over 2}+a{m^3\over 3}$
$\int_{\gamma}^{}y ds\ ,$

$\ \gamma=\widehat AB$ arco di circonferenza di raggio $\ r$ e ampiezza $\ 2\alpha$ avente il punto medio sull'asse $\ y\ .$

Si ha: $\ x=r\sin\alpha,\ y=r\cos\alpha,\ ds=\sqrt[2]{x^{'2}(\alpha)+y^{'2}(\alpha)}ds=r d\alpha\ ,$

$\int_{\gamma}^{}y ds=\int_{-\alpha}^{\alpha}r^2 \cos\alpha d\alpha=(r^2 \sin\alpha)_{-\alpha}^{\alpha}=2 r^2 \sin \alpha=r \bar {AB}\ .$
$\int\int_{\Omega}^{}xy\ dx\ dy\ ,$

essendo $\ \Omega$ il primo quadrante di un'elisse ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\ .$

Si ha quindi\ :

$\iint_{\Omega}^{}xy\ dx\ dy=\int_{0}^{b}dy\int_{0}^{{a\over b}\sqrt[2]{b^2-y^2}}xy\ dx={a^2\over 2b^2}\int_{0}^{b}y(b^2-y^2)\ dy={a^2b^2\over 8}$

ovvero :

$\iint_{\Omega}^{}xy\ dx\ dy=\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{{b\over a}\sqrt[2]{a^2-x^2}}xy\ dy={b^2\over 2a^2}\int_{0}^{a}x(a^2-x^2)\ dx={a^2b^2\over 8\ .}$
$\int\int\int_{V}^{}x^2 dx\ dy\ dz$

esendo $\ V$ un parallelepipedo con un vertice nell'ogigine, limitato dai piani cartesiani, e di cui altri tre vertci sono i punti:

$\ A=\equiv(a,o,o),\quad B\equiv (0,b,0),\quad c\equiv (0,0,c)\ ;$

$\iiint_{V}^{}x^2 dx\ dy\ dz=\int_{0}^{c}dz\int_{0}^{b}dy\int_{0}^{a}x^2 dx={1\over 3}\int_{0}^{c}dz\int_{0}^{b}a^3 dy={a^3b\over 3}\int_{0}^{c}dz={a^3bc\over 3}$