Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali

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Indice

[modifica] funzioni algebriche razionali notevoli

  1. formula di Lagrange
se \ f(x)= a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+..+a_{n}x+a_{n}
e \ f(x_{0})=A_{0},\quad f(x_{1})=A_{1},...+\quad f(x_{n})=A_{n}

essendo x0 ...xn; A0...An numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A0f0(x)+A1f1(x)+...+Anfn(n),

\ dove:\qquad f_i(x)={(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_n)\over (x_i-x_0)(x_i-x_1)...(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)}

Da questa formula consegue:

\ a)\qquad teorema\ di\ Ruffini: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinimio si annulli per \ x=x_0 è che esso sia divisibile per \ x-x_0.

\ b)\qquad principio\ di\ identita'\ dei\ polinomi: Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della \ x, è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della \ x.

[modifica] potenza del binomio \ (x+y)^n con n intero e positivo

\ (x+y)^n=x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{k}x^{n-k}y^k+...+\binom{n}{n}y^n,

dove :\qquad \binom{n}{k}={n(n-1)...(n-k+1)\over k!}

Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero \binom{n}{k}=C_{n,k} che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.

I coefficienti binomiali godono delle proprietà:

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k};\quad \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k};\quad \binom{n}{k}=\binom{n}{k-1}{n-k+1\over k};
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n;\quad \binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+..=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+...

[modifica] potenza del polinomio \ (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^m con m intero e positivo:

(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^m=\sum{m!\over \lambda_{1}!\lambda_{2}!...\lambda_{n}!}\ x_{1}^{\lambda_{1}} x_{2}^{\lambda_{2}}...x_{n}^{\lambda_{n}},

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ1,λ2,..λn interi tali che λ1+λ2+...+λn=m..

[modifica] scomposizione di un polinomio in fattori

L'equazione:\qquad f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0

può avere:

\ k radici reali semplici \ :\quad \alpha_1,\alpha_2....\alpha_k
\ h radici reali multiple \ :\quad \beta_1, \beta_2,...\beta_h;

con i rispettivi ordini di moltiplicità: \ r_1, r_2,...r_h

\ s radici complesse semplici \ :\quad \gamma_m\pm i_{\varepsilon_m}\quad con\ m=1,2,...s;
\ t radici coplesse multiple \ :\quad (\mu_m\pm i_{\nu_m})

con \ m=1, 2,...t e con i rispettivi ordini di moltiplicità \ l_1, l_2,...l_t e sarà:

\ k+r_1+r_2+..+r_h+2s+2(l_1+l_2+..+l_t)=n.

In conseguenza il polinomio \ f(x) è divisibile per le funzioni:

\ x-\alpha_m\qquad m=1....k,

ovvero:\qquad (x-\beta_m)^{r_m}\qquad m=1....h,

ovvero:\qquad (x-\gamma_m)^2+\varepsilon_m^2\qquad m=1...s,

ovvero:\qquad [(x-\mu_m)^2+\nu_m^2]^{l_m}\qquad m=1....t

Se \ f(x) ha \ :\qquad 3 radici reali semplici \ :\quad \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3

\ 1 radice reale tripla \ :\quad \beta
\ 2 radici complesse semplici \ :\quad \gamma\pm i_\varepsilon
\ 2 radici complesse doppie \ :\quad \mu\pm i_\nu

il polinomio \ f(x) è decomponibile in fattori nel seguente modo:

\ f(x)=a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\beta)^3[(x-\gamma)^2+\varepsilon^2][(x-\mu)^2+\nu^2]^2.

Se \ f(x) invece ha \ n radici reali semplici si ha:

\ f(x)=a_0(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)....(x-\alpha_n).

[modifica] trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte

\ a)\quad {x^m-a_m\over x-a}=x^{m-1}+ax^{m-2}+a^2x^{m-3}+....+a^{m-2}+a^{m-1}

\ b)\quad {x^{2m}-a^{2m}\over x+a}=x^{2m-1}-ax^{2m-2}+....-a^{2m-1}

\ c)\quad {x^{2m+1}+a^{2m+1}\over x+a}=

\ d)\quad {f(x)\over (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n)}=

dove \ f(x) è un polinomio di grado \ <n e le \ c sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente \ x=\alpha_1, \alpha_2,...\alpha_n.

\ e)\quad {f(x)\over (x-\alpha)[(x-\beta)^2+\gamma^2]}={c_1\over x-\alpha}+{c_2x+c_3\over (\alpha-\beta)^2+\gamma^2}

\ f)\quad {f(x)\over (x-\alpha)(x-\beta)^r}={c_1\over (x-\alpha)}+{c_2\over (x-\beta}+{c_2\over (x-\beta)^2}+...+{c_{r+1}\over (x-\beta)r}

Le costanti \ c_i si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.

[modifica] relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0

\begin{cases}x_1+x_2+...+x_n=-{a_1\over a_0}\\x_1x_2+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n={a_2\over a_0}\\...\\\sum x_1x_2...x_r=(-1)^r{a_r\over a_0}\\x_1x_2....x_n=(-1)^n{a_n\over a_0}.\end{cases}

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.

[modifica] discriminante di un'equazione algebrica

è la funzione simmetrica delle radici:

\ D=a_0^{2n-2}\begin{vmatrix}1&1&.....&1\\x_1&x_2&.....&x_n\\x_1^2&x_2^2&.....&x_n^2\\...&...&...&...\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&.....&x_n^{n-1}\end{vmatrix}

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione \ f(x)=0 esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.

Per l'equazione \ ax^2+bx+c=0 si ha: \ D=b^2-4ac e per l'equazione \ x^3+px+q=0, si ha: \ D=-108({p^3\over 27}+{q^2\over 4}).

[modifica] risultante di due equazioni algebriche

[modifica] campo di razionalità

Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.

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