Analisi matematica/Integrale definito

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[modifica] Concetto di integrale definito

Se C è un campo a n dimensioni, f (x1, x2...xn) una funzione data e limitata nel campo C, (x1(i), x2(i),...xn(i)) un punto appartenente ad una parte elementare \ \Delta c_{i} del campo totale C, se esiste il limite:

\ I_c=\lim_{\Delta c_{i}\to 0}\sum_{i} f (x_{1}^{(i)}, x_{2}^{(i)},...x_{n}^{(i)})\Delta c_{i}=\lim_{\Delta c_i\to 0}\sum_i l_i \ \Delta c_i=\lim_{\Delta c_i\to 0}\sum_i L_i\ \Delta c_i,

essendo\ l_i e\ L_i rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di \ f in \ \Delta c_i, questo limite si dice integrale definito di \ f(x_1,...x_n) nel campo di integrazione \ C e si indica con la scrittura:

\ I_c=\int_c f(x_1, x_2,....x_n)\ dc.

La funzione si dice allora integrabile, \ C si chiama il campo di integrazione. La condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità è:

\lim_{\Delta c_i\to 0} \sum \Delta c_i (L_i-l_i)=0,

dove \ L_i-l_i=D_i è l'oscillazione della funzione nella regione elementare \ \Delta c_i\ .

Sono integrabili in un campo \ C le funzioni che in tale campo sono continue, o generalmente continue o continue quasi dappertutto.

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