Analisi matematica/Integrali dipendenti

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[modifica] integrali definiti dipendenti da un parametro

1) con limiti fissi:

$a):\qquad \ F(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)\ dy;\qquad b):\qquad \Phi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\ dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $\ R$ definito dalle limitazioni: $a\le x\le b$ , $c\le y\le d$ , anche le funzioni $\ F(x)$ e $\ \Phi(y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $\ (c,d)$ e $\ (a,b)$ e si ha:

$\ {dF(x)\over dx}=\int_{c}^{d}{\partial f\over\partial x}dy ;\qquad {d\Phi(y)\over dy}=\int_{a}^{b}{\partial f\over\partial y}dx ;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)\qquad F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)dy;\qquad b)\qquad \Phi(y)=\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x,y)dx$

Se $\ f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\ \Omega$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\le x\le b,\ c\le y\le d,$ e se le funzioni $\ \alpha(x),\ \beta(x)$ sono continue e derivabili in $\ (a,b),$ e le funzioni $\ \gamma(y),\ \delta(y)$ sono continue e derivabili in $\ (c,d),$ le funzioni: $\ F(x)$ e $\ \Phi(x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $\ (a,b)$ e $\ (c,d).$ Si ha inoltre: