Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

Integrale lineare

Definizioni

$\ C=$ intervallo (a, b) dell'asse x,

$\ f=f(x),$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to \ 0}\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a),$

essendo $\varphi (b)-\varphi (a)$ la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

Significato geometrico

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

Teorema della media

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lambda (b-a),$

essendo $\ \lambda$ un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, $\ \lambda =f(c)$ essendo: a<c<b.

Formule di integrazione approssimata

$1)\qquad \int _{a}^{b}dx={h \over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],$

essendo: $\ h={b-a \over n}$ e $\ y_{0},\ y_{1},...y_{n}$ le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

$2)\qquad \int _{a}^{b}f(x)dx={h \over 3}[(y_{0}+y_{2n})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{2n-2})+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{2n-1})]$

avendo $\ h,\ y_{0},...y_{2n}$ lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

Formula per il cambiamento di variabile

Se si pone: $\ x=\varphi (t),\ a=\varphi (t_{1}),\ b=\varphi (t_{2})$ si ha :

$\int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[\varphi (t)]\varphi '(t)\ dt\ ,$

quando la funzione $\ f(x)$ è continua in $\ (a,b)$ e le funzioni $\ \varphi (t),\ \varphi '(t)$ sono continue in $\ (t_{1},\ t_{2})$ ed inoltre $\ \varphi '(t)\neq 0\ .$

Integrale curvilineo

1° tipo

a) definizioni $:\qquad \left\{{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y=\phi (x)\end{matrix}}\right.$

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta x_{i}=\int _{\gamma }f(x,y)dx=$

$\ =\int _{a}^{b}f[(x,\phi (x)]dx=\int _{a}^{b}g(x)dx,$

essendo $\ \gamma$ l'arco $\ AB$ avente per estremi i punti:

$\ A=[a,\phi (a)];\qquad B=[b,\phi (b)].$

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva $\gamma$ è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

$\int _{\gamma }^{}f(x,y)dx=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.$

b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo

a) definizioni:$\qquad \left\{{\begin{matrix}C=\phi (x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi (x),\end{matrix}}\right.$

con $\ y=\phi (x)$ arco della curva ,

$\ I_{c}=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i}f[x_{i},\phi (x_{i})]\Delta s_{i}=\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=$

$\ =\int _{a}^{b}f[x,\phi (x)]{\sqrt {1+{\phi }^{'2}(x)}}\ dx,$

essendo $\ \gamma =AB$ con $\ A\equiv [a,\phi (a)]$ e $\ B\equiv [b,\phi (b)].$

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

$\int _{\gamma }{}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f[x(t),y(t)]{\sqrt {x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}}\ dt.$

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco $\ \gamma$ e altezza variabile data da: $\ f[x,\varphi (x)]\ .$

Integrale doppio di campo

Definizioni

$\ C=$ regione semplice $\ \Omega$ del piano $\ xy,$ limitata da archi:

${\widehat {ABC}}:y=\alpha (x)$ archi inferiori,

${\widehat {ADC}}:y=\beta (x)$ archi superiori,

${\widehat {CAD}}:x=\gamma (y)$ archi a sinistra,

${\widehat {CBD}}:x=\delta (y)$ archi a destra.

$\ f=f(x,y)$ con $\ x,y$ variabili indipendenti,

$\ I_{c}=\lim _{\Delta x{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint _{R}^{}g(x,y)dxdy$

avendo posto:

${\begin{cases}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega ,\\g(x,y)=0\ in\ R\ esternamente\ a\ \Omega \end{cases}}.$

dove $\ R$ è il rettangolo circoscritto alla regione $\ \Omega$ limitato dalle rette $\ x=a,\ x=b,\ y=c,\ y=d\ .$

Calcolo per integrazioni successive

$\iint _{\Omega }^{}f(x,y)\ dx\ dy=\int _{c}^{d}dy\int _{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)\ dx=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\ dy\ .$

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

Significato geometrico

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

Teorema della media

$\iint _{\Omega }^{}f(x,y)dxdy=\lambda {\bar {\Omega }},$ essendo $\ {\bar {\Omega }}=$ area della regione $\ \Omega$ e $\ l<\lambda <\ L,$ dove $\ l$ e $\ L$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $\ f(x,y)$ in $\ \Omega .$

Se $\ f(x,y)$ è continua in $\ \Omega ,$ $\ \lambda =f({\bar {x}},{\bar {y}})$ esendo $\ ({\bar {x}},{\bar {y}})$ un punto di $\ \Omega .$

Teorema di Gauss

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial x}dxdy=\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dy$

$\iint _{\Omega }^{}{\partial f \over \partial y}dxdy=-\oint _{\gamma }^{}f(x,y)dx$

essendo $\ f(x,y)$ una funzione continua in $\ \Omega$ e $\ \gamma$ il contorno chiuso di $\ \Omega .$

Formula di Green o di Stokes

$\iint _{\Omega }^{}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})dxdy=\oint _{\lambda }^{}(Adx+Bdy),$

essendo $\ A(x,y)$ e $\ B(x,y)$ funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice $\ \Omega$, $\ \lambda$ il contorno chiuso della regione $\ \Omega .$

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

Formula per il cambiamento di variabili

Se si pone:

${\begin{cases}x=\psi (u\ ,v)\\y=\varphi (u\ ,v)\ ,\end{cases}}$

essendo le $\ \psi$ e $\ \varphi$ continue in una regione $\ \wedge$ del piano $\ u,\ v$ e se $\ J{\begin{vmatrix}\psi &\varphi \\u&v\end{vmatrix}}\neq 0$ in $\ \wedge \ ,$ si ha la formula :

$\int \int _{\Omega }^{}f(x,\ y)dx\ dy=\int \int _{\wedge }^{}f[\psi (u,v),\varphi (u,v)]J{\begin{vmatrix}\psi &\varphi \\u&v\end{vmatrix}}\ du\ dv\ ,$

dove $\ \wedge$ è la regione di $\ (u,\ v)$ corrispondente alla regione $\ \Omega$ di $\ xy\ .$

Se in particolare si pone:

${\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta \end{cases}}$ (trasformazione polare),

$\ J{\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi \\\rho ,&\theta \end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \cos \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}=\rho$

e la formula diventa :

$\iint _{\Omega }^{}f(x,\ y)\ dx\ dy=\iint _{\wedge }^{}f(\rho \cos \theta ,\ \rho \sin \theta )\ \rho \ d\rho \ d\theta .$

Integrale triplo

Definizioni

$\ C=$ regione semplice spaziale $\ V\ ,$

$\ f(x,\ y,\ z)$ con $\ x,\ y,\ z$ variabili indipendenti\ ,

$\ I_{c}=\lim _{{{\Delta x_{i}\to 0} \over {\Delta y_{i}\to 0}} \over \Delta x_{i}\to 0}\sum _{i}^{}f(x_{i},\ y_{i},\ z_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}\Delta z_{i}=\iiint _{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=$

$\iiint _{P}^{}g(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz\ ,$

dove $\ P$ è il parallelepipedo circoscritto alla regione $\ V$ con le facce parallele ai piani coordinati e

$\ g(x,\ y,\ z)={\begin{cases}f(x,\ y,\ z)\quad \ in\ V\\0\quad \ in\ P\ fuori\ di\ V.\end{cases}}$

Calcolo per integrazioni successive

$\iiint _{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=\int _{z_{1}}^{z_{2}}dz\int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}dy\int _{x_{1}(x,y)}^{x_{2}(y,z)}f(x,\ y,\ z)dx$

essendo : $\ x_{1}(y,\ z)$ e $\ x_{2}(y,\ z)$ le ascisse dei punti $\ P_{1},\ P_{2}$ in cui una parallela generica all'asse $\ x$ incontra la superficie limitatrice della regine $\ V\ ;$ $\ y_{1}(z)$ e $\ y_{2}(z)$ sono le $\ y$ di contatto $\ Q_{1},\ Q_{2}$ delle tangenti parallele all'asse $\ x$ alla seione della superficie con un piano parallelo al piano $\ xy$ per la retta $\ P_{1}P_{2}\ ;$ infine le $\ z_{1}$ e $\ z_{2}$ sono le $\ z$ dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano $\ xy\ .$

Significato fisico

rappresenta la massa della regione $\ V$ quando $\ f(x\,\ y,\ z)$ ne rappresenti la densità.

Teorema della media

$\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{V}^{}F(x,y,z)dx\ dy\ dz=\lambda {\bar {V}}\ ,$

essendo $\ {\bar {V}}$ il volume della regione $\ V$ ed avendo $\ \lambda$ il solito significato .

Formula per il cambiamento di variabili

Se si pone $\ :\qquad {\begin{cases}x=\varphi (u,v,w)\\y=\psi (u,v,w)\\z=\chi (u,v,w)\end{cases}}$

essendo le $\ \varphi ,\ \psi ,\ \chi$ funzioni continue in una regione $\ V$ dello spazio $\ (u,\ v,\ w)$ e $J{\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi ,&\chi \\u,&v,&w\end{pmatrix}}\neq 0$ si ha :

$\iiint _{V}^{}f(x,y,z)\ dx\ dy\ dz=\iiint _{U}^{}f[\varphi (u,v,w),\psi (u,v,w),\chi (u,v,w)]\cdot {\begin{vmatrix}J{\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi ,&\chi \\u,&v,&w\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}du\ dv\ dw\ .$

Teorema della divergenza

$\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{V}^{}div.\Phi \ d\tau =\iint _{S}^{}\Phi \times dS$

essendo : $\ div.\Phi ={\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}$ con $\ P,Q,R$ componenti di $\ \Phi$ ed $\ S$ un elemento della superficie $\ S$ che chiude $\ V\ .$