Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

< Analisi matematica

Vai a: navigazione, ricerca

[modifica] I DIVERSI TIPI DI INTEGRALE DEFINITO

[modifica] 1) integrale lineare

[modifica] a) definizioni

$\ C=$ intervallo (a, b) dell'asse x,

$\ f=f(x),$

$\ I_{c}=\lim_{\Delta x_{i}\to\ 0}\sum_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx=\varphi(b)-\varphi(a),$

essendo $\varphi(b)-\varphi(a)$ la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

[modifica] b) significato geometrico

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

[modifica] c) teorema della media

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lambda(b-a),$

essendo $\ \lambda$ un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, $\ \lambda=f(c)$ essendo: a<c<b.

[modifica] d) formule di integrazione approssimata

$1)\qquad \int_{a}^{b}dx={h\over 2}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+y_{4}+...+y_{n-1})],$

essendo: $\ h={b-a\over n}$ e $\ y_{0},\ y_{1},...y_{n}$ le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

$2)\qquad \int_{a}^{b}f(x)dx={h\over 3}[(y_{0}+y_{2n})+2(y_{2}+y_{4}+...+y_{2n-2})+4(y_{1}+y_{3}+...+y_{2n-1})]$

avendo $\ h,\ y_{0},...y_{2n}$ lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

[modifica] e) formula per il cambiamento di variabile

Se si pone: $\ x=\varphi (t),\ a=\varphi (t_1),\ b=\varphi (t_2)$ si ha :

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\int_{t_1}^{t_2}f[\varphi(t)]\varphi '(t)\ dt\ ,$

quando la funzione $\ f(x)$ è continua in $\ (a,b)$ e le funzioni $\ \varphi(t),\ \varphi '(t)$ sono continue in $\ (t_1,\ t_2)$ ed inoltre $\ \varphi '(t)\ne 0\ .$

[modifica] 2) integrale curvilineo

[modifica] 1° tipo

a) definizioni $:\qquad \left\{\begin{matrix}C=intervallo\ (a,b)\ dell'asse\ x,\\f=f(x,y)\ con\ y=\phi(x)\end{matrix}\right.$

$\ I_{c}=\lim_{\Delta x_{i}\to 0}\sum_{i}f[x_{i}, \phi(x_{i})]\Delta x_{i}=\int_{\gamma}f(x,y)dx=$

$\ =\int_{a}^{b}f[(x,\phi(x)]dx=\int_{a}^{b}g(x)dx,$

essendo $\ \gamma$ l'arco $\ AB$ avente per estremi i punti:

$\ A=[a, \phi(a)];\qquad B=[b, \phi(b)].$

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva $γ$ è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

$\int_{\gamma}^{}f(x,y)dx=\int_{t_{1}}^{t_{2}}f[x(t),y(t)]x'(t)dt.$

b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

[modifica] 2° tipo

a) definizioni: $\qquad \left\{\begin{matrix}C=\phi(x),\\f=(x,y)\ con\ y=\phi(x),\end{matrix}\right.$

con $\ y=\phi(x)$ arco della curva ,

$\ I_{c}=\lim_{\Delta s_{i}\to 0}\sum_{i}f[x_{i},\phi(x_{i})]\Delta s_{i}=\int_{\gamma}{}f(x,y)ds=$

$\ =\int_{a}^{b}f[x,\phi(x)]\sqrt{1+{\phi}^{'2}(x)}\ dx,$

essendo $\ \gamma= AB$ con $\ A\equiv [a,\phi(a)]$ e $\ B\equiv[b, \phi(b)].$

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

$\int_{\gamma}{}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}\ dt.$

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco $\ \gamma$ e altezza variabile data da: $\ f[x,\varphi(x)]\ .$

[modifica] 3) integrale doppio di campo

[modifica] a) definizioni:

$\ C=$ regione semplice $\ \Omega$ del piano $\ xy,$ limitata da archi :

$\widehat{ABC} : y=\alpha(x)$ archi inferiori ,

$\widehat{ADC} : y=\beta(x)$ archi superiori ,

$\widehat{CAD} : x=\gamma(y)$ archi a sinistra ,

$\widehat{CBD} : x=\delta(y)$ archi a desra .

$\ f=f(x,y)$ con $\ x,y$ variabili indipendenti,

$\ I_{c}=\lim_{\Delta x{i}\to 0}\sum_{i}f(x_{i},y_{i})\Delta x_{i}\Delta y_{i}=\iint_{R}^{}g(x,y)dxdy$

avendo posto:

$\begin{cases}g(x,y)=f(x,y)\ in\ \Omega,\\g(x,y)=0\ in\ R\ esternamente\ a\ \Omega\end{cases} .$

dove $\ R$ è il rettangolo circoscritto alla regione $\ \Omega$ limitato dalle rette $\ x=a,\ x=b,\ y=c,\ y=d\ .$

[modifica] b) calcolo per integrazioni successive

$\iint_{\Omega}^{}f(x,y)\ dx\ dy=\int_{c}^{d}dy\int_{\gamma (y)}^{\delta (y)}f(x,y)\ dx=\int_{a}^{b}dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\ dy\ .$

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

[modifica] c) significato geometrico

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

[modifica] d) teorema della media

$\iint_{\Omega}^{}f(x,y)dxdy=\lambda\bar\Omega,$ essendo $\ \bar\Omega=$ area della regione $\ \Omega$ e $\ l<\lambda<\ L,$ dove $\ l$ e $\ L$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $\ f(x,y)$ in $\ \Omega.$

Se $\ f(x,y)$ è continua in $\ \Omega,$ $\ \lambda=f(\bar x,\bar y)$ esendo $\ (\bar x,\bar y)$ un punto di $\ \Omega.$

[modifica] e) teorema di Gaus

$\iint_{\Omega}^{}{\partial f\over\partial x}dxdy=\oint_{\gamma}^{}f(x,y)dy$

$\iint_{\Omega}^{}{\partial f\over\partial y}dxdy=-\oint_{\gamma}^{}f(x,y)dx$

essendo $\ f(x,y)$ una funzione continua in $\ \Omega$ e $\ \gamma$ il contorno chiuso di $\ \Omega.$

[modifica] f) formula di Green o di Stokes

$\iint_{\Omega}^{}({\partial B\over\partial x}-{\partial A\over\partial y})dxdy=\oint_{\lambda}^{}(Adx+Bdy),$

essendo $\ A(x,y)$ e $\ B(x,y)$ funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice $\ \Omega$ , $\ \lambda$ il contorno chiuso della regione $\ \Omega.$

Le formule esposte servono a trasformare un intergrale doppio di campo in un integrale curvilineo o vicevarsa.

[modifica] g) formula per il cambiamento di variabili

Se si pone:

$\begin{cases}x=\psi(u\ ,v)\\y=\varphi(u\ ,v)\ ,\end{cases}$

essendo le $\ \psi$ e $\ \varphi$ continue in una regione $\ \wedge$ del piano $\ u,\ v$ e se $\ J\begin{vmatrix}\psi&\varphi\\u&v\end{vmatrix}\ne 0$ in $\ \wedge\ ,$ si ha la formula :

$\int\int_{\Omega}^{}f(x,\ y)dx\ dy=\int\int_{\wedge}^{}f[\psi(u,v),\varphi(u,v)]J\begin{vmatrix}\psi&\varphi\\u&v\end{vmatrix}\ du\ dv\ ,$

dove $\ \wedge$ è la regione di $\ (u,\ v)$ corrispondente alla regione $\ \Omega$ di $\ xy\ .$

Se in particolare si pone:

$\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\end{cases}$ (trasformazione polare),

$\ J\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi\\\rho ,&\theta\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta&-\rho\cos\theta\\\sin\theta&\rho\cos\theta\end{vmatrix}=\rho$

e la formula diventa :

$\iint_{\Omega}^{}f(x,\ y)\ dx\ dy=\iint_{\wedge}^{}f(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta)\ \rho\ d\rho\ d\theta.$

[modifica] 4) integrale triplo

[modifica] a) definizioni

$\ C=$ regione semplice spaziale $\ V\ ,$

$\ f(x,\ y,\ z)$ con $\ x,\ y,\ z$ variabili indipendenti\ ,

$\ I_c=\lim_{{{\Delta x_i\to 0}\over {\Delta y_i\to 0}}\over\Delta x_i\to 0}\sum_{i}^{}f(x_i,\ y_i,\ z_i)\Delta x_i \Delta y_i\Delta z_i=\iiint_{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=$

$\iiint_{P}^{}g(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz\ ,$

dove $\ P$ è il parallelepipedo circoscritto alla regione $\ V$ con le facce parallele ai piani coordinati e

$\ g(x,\ y,\ z)=\begin{cases}f(x,\ y,\ z)\quad\ in\ V\\0\quad\ in\ P\ fuori\ di\ V.\end{cases}$

[modifica] b) calcolo per integrazioni successive

$\iiint_{V}^{}f(x,\ y,\ z)\ dx\ dy\ dz=\int_{z_1}^{z_2}dz\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}dy\int_{x_1(x,y)}^{x_2(y,z)}f(x,\ y,\ z)dx$

essendo : $\ x_1(y,\ z)$ e $\ x_2(y,\ z)$ le ascisse dei punti $\ P_1,\ P_2$ in cui una parallela generica all'asse $\ x$ incontra la superficie limitatrice della regine $\ V\ ;$ $\ y_1(z)$ e $\ y_2(z)$ sono le $\ y$ di contatto $\ Q_1,\ Q_2$ delle tangenti parallele all'asse $\ x$ alla seione della superficie con un piano parallelo al piano $\ xy$ per la retta $\ P_1P_2\ ;$ infine le $\ z_1$ e $\ z_2$ sono le $\ z$ dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano $\ xy\ .$

[modifica] c) significato fisico

rappresenta la massa della regione $\ V$ quando $\ f(x\,\ y,\ z)$ ne rappresenti la densità.

[modifica] d) teorema della media

$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{V}^{}F(x,y,z)dx\ dy\ dz=\lambda \bar V\ ,$

essendo $\ \bar V$ il volume della regione $\ V$ ed avendo $\ \lambda$ il solito significato .

[modifica] e) formula per il cambiamento di variabili

Se si pone $\ :\qquad\begin{cases}x=\varphi(u,v,w)\\y=\psi(u,v,w)\\z=\chi(u,v,w)\end{cases}$

essendo le $\ \varphi,\ \psi,\ \chi$ funzioni continue in una regione $\ V$ dello spazio $\ (u,\ v,\ w)$ e $J\begin{pmatrix}\varphi ,&\psi ,&\chi\\ u ,&v ,&w \end{pmatrix}\ne 0$ si ha :

$\iiint_{V}^{}f(x,y,z)\ dx\ dy\ dz=\iiint_{U}^{}f[\varphi(u,v,w),\psi(u,v,w),\chi(u,v,w)]\cdot \begin{vmatrix}J\begin{pmatrix}\varphi,&\psi,&\chi\\u,&v,&w\end{pmatrix}\end{vmatrix}du\ dv\ dw\ .$

[modifica] f) teorema della divergenza

$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{V}^{}div.\Phi\ d\tau=\iint_{S}^{}\Phi\times dS$

essendo : $\ div.\Phi={\partial P\over \partial x}+{\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over\partial z}$ con $\ P,Q,R$ componenti di $\ \Phi$ ed $\ S$ un elemento della superficie $\ S$ che chiude $\ V\ .$

Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Indice

[modifica] I DIVERSI TIPI DI INTEGRALE DEFINITO

[modifica] 1) integrale lineare

[modifica] a) definizioni

[modifica] b) significato geometrico

[modifica] c) teorema della media

[modifica] d) formule di integrazione approssimata

[modifica] e) formula per il cambiamento di variabile

[modifica] 2) integrale curvilineo

[modifica] 1° tipo

[modifica] 2° tipo

[modifica] 3) integrale doppio di campo

[modifica] a) definizioni:

[modifica] b) calcolo per integrazioni successive

[modifica] c) significato geometrico

[modifica] d) teorema della media

[modifica] e) teorema di Gaus

[modifica] f) formula di Green o di Stokes

[modifica] g) formula per il cambiamento di variabili

[modifica] 4) integrale triplo

[modifica] a) definizioni

[modifica] b) calcolo per integrazioni successive

[modifica] c) significato fisico

[modifica] d) teorema della media

[modifica] e) formula per il cambiamento di variabili

[modifica] f) teorema della divergenza

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Stampa/esporta

Ricerca

strumenti