Analisi matematica/Continuità

Continuità

a) definizioni

1. Una funzione f(P) definita in un campo C a una o più dimensioni si dice continua in $\ P_{0}$ quando si ha:

   $\lim _{P\to P_{0}}f(P)=f(P_{0})$

   cioè quando, dato un numero $\ \epsilon$ arbitrario, esiste un intorno di $\ P_{0}$ tale che, qualunque sia P interno ad esso, si ha:

   $\ |f(P)-f(P_{0})|<\ \varepsilon$

2. Una funzione continua in ogni punto P di un campo C, in cui è definita, si dice continua in C.
3. Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un numero finito di punti si dice generalmente continua in C.
4. Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un insieme di punti rinchiudibile, cioè tale che esista un numero finito di campi elementari, la somma delle cui misure si possa rendere piccola a piacere, si dice continua quasi dappertutto.
5. Una funzione, definita in um campo C, tale che, assegnato un $\ \varepsilon$ arbitrario, in qualunque parte del campo di misura minore di $\ \delta$, l'oscillazione della funzione (differenza fra il limite superiore e inferiore nella parte del campo sia minore di $\ \varepsilon$, si dice uniformemente continua nel campo.
6. Una funzione, definita in un campo C, tale che, assegnato un $\ \varepsilon$ arbitraio, e diviso comunque il campo in parti di misura $\ \omega _{n}$, in ciascuna delle quali l'oscillazione sia $\Delta _{n}=L_{n}-l_{n}$, esista un $\delta >0$ per cui si abbia: $\sum _{}^{}\delta _{n}$

b) proprietà fondamentali

1. Una funzione continua in un campo chiuso, vi è uniformemente continua. (teorema di Cantor).
2. Una funzione continua in un campo chiuso è limitata.
3. Una funzione continua in un campo chiuso ammette un massimo ed un minimo (assoluti).
4. Una funzione continua in un campo chiuso assume almeno in un punto un valore qualsiasi compreso fra il massimo ed il minimo.

Serie numeriche

a) definizioni

Data la serie: $\ u_{1}+u_{2}+....+u_{n}+...$ e posto:

$\ S_{1}=u_{1},S_{2}=u_{1}+u_{2},S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3},...S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n},$

possono presentarsi tre casi:

1. ) lim S_n=S finito, nel qual caso la serie è convergente;
2. ) lim S_n=∞, nel qual caso la serie è divergente;
3. ) lim S_n non esiste, nel qual caso la serie è indeterminata.

Ne primo caso il numero S si dice somma della serie.

esempi:

serie geometrica: $\ a+aq+aq^{2}+...+aq^{n}+...$

$S_{n}=a{1-q^{n} \over 1-q}={a \over 1-q}-{aq^{n} \over 1-q};$

1° caso) q<1,

$\lim _{n\to \infty }\ q^{n}=0,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}={a \over 1-q}$

la serie è convergente.

2° caso) q>1,

$\lim _{n\to \infty }\ q^{n}=+\infty ,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}=\infty$,

la serie è divergente.

3° caso) q=1

$\ a+\ a+\ a+....;\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{n}=\infty ,$

la serie è divergente.

4° caso) q= -1,

$\ a\ -a\ +a\ -a\ +a\ -...\;\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{2n}=0,\qquad \lim _{n\to \infty }\ S_{2n+1}=+a;$

la serie non ha limite, è indeterminata.

5° caso) q< -1,

il $\lim _{n\to \infty }\ q^{n}$ non esiste; la serie è indeterminata e la serie dei valori assoluti è divergente.

b) Criterio generale di convergenza Criterio generale per le serie a termini qualunque.

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza è che da un certo n in poi si abbia:$\ |S_{n+p}-S_{n}|\leq \varepsilon$ con $\ \varepsilon$ arbitrariamente piccolo e p intero positivo arbitrario. Per p =1 il criterio da una condizione necessaria ma non sufficiente; per una serie alternata: $\ u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+...,$ se $\ u_{n}$ decresce e tende a 0, la serie converge.

c) Criterio di convergenza per le serie a termini positivi

1) criteri di confronto fra serie:

a) quando $\ u_{n}\leq v_{v}$ se converge la $\ 2^{a}$, converge la $\ 1^{a}$, se diverge la $\ 1^{a}$, diverge la $\ 2^{a}$ (criterio della serie maggiorante).

b) se $\ v_{n}=a_{n}u_{n}$ con $\ a_{n}\leq A$, quando converge $\ \sum {u_{n}}$ converge anche $\ \sum {v_{n}}$.

c) se $\ v_{n}=a_{n}u_{n}$ con $\ a_{n}\geq A$, quando $\sum {}u_{n}$ diverge, anche $\sum {v_{n}}$ diverge.

2) criterio di Cauchy o della radice

Se da un certo $\ n$ in poi ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}<k<1$ la serie converge, se da un certo $\ n$ in poi ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}>1$ la serie diverge.

Se $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=1$, il criterio non serve.

3) criterio di d'Alembert o del rapporto.

Se da un certo n in poi ${u_{n+1} \over u_{n}}\leq k<1$ la serie converge,

se da un certo n in poi ${u_{n+1} \over u_{n}}>1$ la serie diverge.

Il criterio non serve quando $\lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=1$.

4) criteri di Kummer.

a) se $\ a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n},...$è una successione di numeri positivi,

e se $\ a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}-a_{n+1}>k>0$ la serie converge.

b) Se la serie ${1 \over a_{1}}+{1 \over a_{2}}+...+{1 \over a_{n}}+...$ converge o diverge e si ha da un certo $\ n$ in poi: $a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}><0$ la serie converge o diverge.

Se $\lim _{n\to \infty }(a_{n}{u_{n} \over u_{n+1}}-a_{n+1})=0,$ il criterio non serve.

5) regola di Raabe

Se da un certo $\ n$ in poi si ha: $\ n({u_{n} \over u_{n+1}})>h>1$ la serie converge; se invece $\ n({u_{n} \over u_{n+1}})\leq 1$ la serie diverge.

Si ricava dal criterio di Kummer ponendovi $\ a_{n}=n,a_{n+1}=n+1$ e ricordando che la serie armonica è divergente.