Analisi matematica/Determinanti e matrici

Definizione di matrice

Si definisce matrice una tabella di $n\times m$ numeri reali (o complessi), disposti su n righe e m colonne, dove con il termine:

• riga intendiamo le righe orizzontali
• colonna intendiamo invece le righe verticali

Una matrice si presenterà nella forma più generica come:

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,m}\end{bmatrix}}$

nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici si usano le lettere maiuscole latine.

• I numeri che riempiono una matrice vengono detti elementi ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con $a_{i,j}$, dove la coppia di indici i,j indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemento nella matrice.
• La dimensione di una matrice che ha n righe e m colonne è $n\times m$

Esempio

Sia A la seguente matrice:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}}$

In questo caso la dimensione di A è $2\times 2$ in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:

L'elemento $a_{1,1}=1$ perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna

L'elemento $a_{1,2}=2$ perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna

L'elemento $a_{2,1}=3$ perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna

L'elemento $a_{2,2}=3$ perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna

Determinanti

Determinante di 2° ordine

${\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}=ab'-a'b$

Determinante di 3° ordine

${\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}}=a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')$

Determinante di 4° ordine

(regola di sviluppo di Laplace):

${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{vmatrix}}=$

${\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c''&d''\\c'''&d'''\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a&b\\a''&b''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c'&d'\\c'''&d'''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c'&d'\\c''&d''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a'&b'\\a''&b''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c'''&d'''\end{vmatrix}}-$

${\begin{vmatrix}a'&b'\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c''&d''\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a''&b''\\a'''&b'''\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c&d\\c'&d'\end{vmatrix}}.$

Determinante di ordine n

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}...&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}...&a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+.....+a_{rn}A_{rn},$

dove $\ A_{rs}$ è il determinante di ordine $\ n-1$, ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale $\ r^{ma}$ e della verticale $\ s^{ma},$ preso col segno $\ (-1)^{r+s};$ il determinante $\ A_{rs}$ si dice complemento algebvrico o aggiunto di $\ a_{rs}.$

Se $\ s\neq r$ si ha:

$\ a_{s1}A_{r1}+a_{s2}A_{r2}+....+a_{sn}A_{rn}0=,$

(sviluppo di un determinante con due line uguali il cui valore è 0).

Determinante di Vandermonde

${\begin{vmatrix}1&1....&1\\a_{1}&a_{2}....&a_{n}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}....&a_{n}^{2}\\..&..&..&\\a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}....&a_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{(r>s)}(a_{r}-a_{s})\qquad con\ {\begin{cases}r=2,3,..n\\s=1,2,..n-1\end{cases}}$

Questo determinante è diverso da $\ 0$ se i numeri $\ a_{1},a_{2},..a_{n}$ sono differenti.

Determinante reciproco

$\ \nabla ={\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}.....&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}.....&A_{2n}\\..&..&..\\A_{n1}&A_{n2}.....&A_{nn}\end{vmatrix}}=D^{n-1}$

essendo $\ D$ il determinante dato.

Prodotto di due determinanti di ordine n

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}....&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}....&a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}....&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}....&b_{2n}\\..&..&..\\b_{n1}&b_{n2}....&b_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}....&c_{1n}\\c_{21}&c{22}....&c_{2n}\\..&..&..\\c_{n1}&c_{n2}....&c_{nn}\end{vmatrix}}$

dove: $\ c_{rs}=a_{r1}b_{s1}+a_{r2}b_{s2}+....+a_{rn}b_{sn},$

cioè: $\ c_{rs}$ risulta dalla moltiplicazione della $\ r^{ma}$ orizzontale del $\ 1^{0}$ per la $\ s^{ma}$ del $\ 2^{0}$

Il prodotto però può pure eseguirsi per verticali fra loro oppure anche con orizzontali per verticali o viceversa.

Rango di una matrice

Data la matrice:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\......&....&.....&........\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}}$

si dice rango l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date m forme lineari: a_r1x₁+a_r2x₂+...+a_rnx_n=U_r con r=1,2...m, la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme linearmente indipendenti.

esempio: Il rango della seguente matrice quadrata è 2.

${\begin{vmatrix}5&8&7\\13&11&-2\\18&19&5\end{vmatrix}}$

Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è zero, nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi).