Analisi matematica/Integrale definito

Se C è un campo a n dimensioni, f (x₁, x₂...x_n) una funzione data e limitata nel campo C, (x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,...x_n⁽ⁱ⁾) un punto appartenente ad una parte elementare $\ \Delta c_{i}$ del campo totale C, se esiste il limite:

$\ I_{c}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...x_{n}^{(i)})\Delta c_{i}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}l_{i}\ \Delta c_{i}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}L_{i}\ \Delta c_{i},$

essendo$\ l_{i}$ e$\ L_{i}$ rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $\ f$ in $\ \Delta c_{i},$ questo limite si dice integrale definito di $\ f(x_{1},...x_{n})$ nel campo di integrazione $\ C$ e si indica con la scrittura:

$\ I_{c}=\int _{c}f(x_{1},x_{2},....x_{n})\ dc.$

La funzione si dice allora integrabile, $\ C$ si chiama il campo di integrazione. La condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità è:

$\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum \Delta c_{i}(L_{i}-l_{i})=0,$

dove $\ L_{i}-l_{i}=D_{i}$ è l'oscillazione della funzione nella regione elementare $\ \Delta c_{i}\ .$

Sono integrabili in un campo $\ C$ le funzioni che in tale campo sono continue, o generalmente continue o continue quasi dappertutto.