Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni
= parte reale ;
= parte immaginaria ;
= modulo;
= fase (o argomento);
= unità immaginaria
Una coppia ordinata di numeri reali, tali che:
se
numero reale,
definisce un numero detto numero complesso.
Esso può rappresentarsi in varie forme:
- algebrica: dove unità immaginaria;
- trigonometrica:
- geometrica: mediante un punto di coordinate in un sistema cartesiano; il punto si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.
La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.
La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.
ovvero:
cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
ovvero:
(formula di Moivre).
In particolare:
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
con
Questi numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia:
In particolare:
- dove
Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.
Due numeri:
si dicono: complessi coniugati e si indica .
I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:
- la loro somma è ;
- il loro prodotto è ;
- i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse
Due numeri:
si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.
Due numeri complessi si dicono reciproci se:
- i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse
- i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro e raggio