Analisi matematica/Problemi fondamentali

a) Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, risolverla significa trovare la famiglia di funzioni:

$\ y=f(x,c_{1},c_{2}....c_{n})\qquad (1)$

che la soddisfano identicamente.

La soluzione $\ (1)$ si dice integrale generale, se invece si danno alle costanti $\ c_{1},c_{2}...c_{n}$ dei valori particolari si ottiene un integrale particolare, si dice infine integrale singolare una funzione $\ y=\phi (x)$ non deducibile dalla $\ (1)$ e che sia soluzione dell'equazione data; se la famiglia $\ (1)$ ammette un inviluppo, la funzione corrispondente è un integrale singolare dell'equazione data.

Le costanti $\ c_{1},c_{2}...c_{n}$ sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo n condizioni iniziali alle $\ y,y',...y^{n-1}$. Se l'equazione differenziale è in forma normale cioè nella forma $\ y^{(n)}=F(x,y,y',...y^{(n-1)})$, si dimostra che se $\ F$ è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di $\ x=x_{0}$, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.

Esempio:

Sia data l'equazione $\ {y' \over y}=k$,essa può scriversi: $\ {dlgx \over dx}=k$, da cui si trae: $\ lgy=kx+c,$ ovvero: $\ y=Ce^{kx},$ avendo posto: $\ e^{c}=C$.

La famiglia di curve rappresentante l' integrale generale è dunque: $\ y=Ce^{kx}$.

Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto $(0,1)\,$ basta determinare $C\,$ con l'equazione:

$\ 1=Ce^{0},\qquad da\ cui:C=1$

e quindi: $\ y=e^{kx}$ è un integrale particolare.

b) Data una famiglia di funzioni:

$\ y=f(x,c_{1},c_{2},...c_{n})$

eliminare ler costanti significa trovare l'equazione differenziale cui soddisfano tutte le funzioni della famiglia

data.

Per raggiungere lo scopo si calcolano le prime n derivate della funzione data e poi dal sistema così ottenuto si

eliminano le costanti.

$\ Esempio:$

Sia data la famiglia:

$\ x=r\cos(\omega t+\varphi ),$

che è l'equazione del moto armonico semplice, si vuole trovarne l'equazione differenziale.

Derivando si ha:

$\ {dx \over dt}=-r\omega \sin(\omega t+\varphi )$, $\ {d^{2}x \over dt^{2}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t+\varphi ).$

Da quest'ultima confrontata con la data si trae:

$\ {d^{2}x \over dt^{2}}+\omega ^{2}x=0$

che è l'equazione cercata.