Analisi matematica/Serie

a) Data una serie di funzioni:

$\ f_{1}(x)+f_{2}(x)+....+f_{n}(x)+...$

si dice che essa è uniformemente convergente in un intervallo (a,b), quando, dato un $\ \epsilon$ arbitrario, esiste un indice ${\bar {n}}$ tale che, essendo $\ n>{\bar {n}}$ e qualunque sia x in (a,b) si ha:

$\ |R_{n}(x)|\leq \epsilon .$

Se in un intervallo (a,b) si ha: $\ |f_{n}(x)|\leq \alpha _{n},$ essendo $\sum _{}^{}\alpha _{n}$ una serie di numeri positivi convergente, la serie $\sum _{}^{}f_{n}(x)$ è uniformemente convergente in (a,b).

b) Una serie di funzioni continue uniformemente convergenti in un intervallo (a,b) è una funzione continua in (a,b).

c) Una serie di potenze:

$\ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}+...$

se converge per un valore x= x₀, converge per ogni valore di x tale che:

d) Una serie di potenze converge assolutamente ed uniformemente in ogni intervallo interno al suo intervallo di convergenza.

e) Le serie:

$\sum _{n=1}^{\infty }x^{n},\qquad \sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n},\qquad \sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n^{2}}.$

hanno per intervallo di convergenza l'intervallo (-1,+1). Negli estremi di questo intervallo la prima non converge perché il suo termine generale non tende a 0; la seconda converge per x=-1, diverge per x=1', la terza converge assolutamente tanto per x=1, quanto per x=-1.