Controlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist

Diagramma polare

Il diagramma polare di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

$G\left(j\omega \right)=\left|G\left(j\omega \right)\right|e^{j\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)},\omega >0$

Ogni punto del diagramma polare, corrispondente ad una certa pulsazione $\omega >0$, ha una distanza dall'origine pari al modulo e forma con l'asse reale un angolo pari alla fase.

Punto iniziale ($\omega \to 0^{+}$)

• Se la funzione di trasferimento $G(s)$ è priva di poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto sull'asse reale.
• Se la funzione di trasferimento $G(s)$ ha $i$ poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto posto all'infinito su un asse cartesiano:

  $G(s)=\frac{1}{s^i}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\left|G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to 0^{+}}\to +\mathrm{\infty }\\ {\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)|}_{\omega \to 0^{+}}=-{90}^{\circ }\cdot i\end{array}$

Punto finale ($\omega \to +\mathrm{\infty }$)

• Se la funzione di trasferimento $G(s)$ è strettamente propria, il diagramma polare termina nell'origine con fase multipla di $\pm {90}^{\circ }$:

  $\{\begin{array}{c}{\left|G\left(j\omega \right)\right|}_{\omega \to +\mathrm{\infty }}=0\\ {\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)|}_{\omega \to +\mathrm{\infty }}={\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)|}_{\omega \to 0^{+}}-{90}^{\circ }\cdot (n_n+m_p)+{90}^{\circ }\cdot (n_p+m_n)\end{array}$

dove:

• $n_n$ è il numero di poli a parte reale $\le 0$ (esclusi i poli nell'origine);
• $n_p$ è il numero di poli a parte reale $>0$;
• $m_n$ è il numero di zeri a parte reale $\le 0$;
• $m_p$ è il numero di zeri a parte reale $>0$.

• Se la funzione di trasferimento $G(s)$ non è strettamente propria, il diagramma polare termina perpendicolarmente in un punto sull'asse reale diverso dall'origine.

Diagramma di Nyquist

Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

$G\left(j\omega \right)=\left|G\left(j\omega \right)\right|e^{j\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)},\mathrm{\forall }\omega$

Ogni polo nell'origine ($j{\omega }_0=0$) determina una rotazione di fase di $-{180}^{\circ }$, rappresentata come una semicirconferenza di raggio infinito percorsa in senso orario da $0^{-}$ a $0^{+}$ in modo che il diagramma di Nyquist sia costituito da una curva chiusa.

Poiché:

$\{\begin{array}{c}\left|G(-j\omega )\right|=\left|G\left(j\omega \right)\right|\\ \mathrm{\angle }G(-j\omega )=-\mathrm{\angle }G\left(j\omega \right)\end{array}$

per $\omega >0$ il luogo dei punti $G(-j\omega )$ risulta simmetrico a quello di $G\left(j\omega \right)$ rispetto all'asse reale → il tracciato di $G\left(j\omega \right)$ per $\omega <0$ si ottiene dal ribaltamento del diagramma polare corrispondente a $\omega >0$.