Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

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Indice del libro
Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi

Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

  • il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
  • elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.
Tipi di disturbo
  • disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
  • disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente[modifica]

Tipi di disturbo polinomiale
  • disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
  • disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:

Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

  • posizione nell'anello;
  • tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

Per ogni disturbo :

  • si pongono a zero il riferimento (e quindi l'uscita desiderata ) e tutti gli altri eventuali disturbi;
  • si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente , cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo , tramite il teorema del valore finale:
dove è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:
  • si determina l'errore in regime permanente dovuto alla sola presenza del disturbo :

Un sistema si dice astatico ad un disturbo se l'effetto di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente :

Effetti di un disturbo posto sull'uscita[modifica]

Effetto sull'uscita in regime permanente
Disturbo posto sull'uscita
costante: rampa:
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0
tipo 1 0
tipo 2 0 0

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento fra un disturbo polinomiale posto sull'uscita e l'uscita è data da:

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente (reiezione totale):

  • il sistema è astatico ad un disturbo costante posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto[modifica]

Effetto sull'uscita in regime permanente
Disturbo posto lungo il ramo diretto
costante: rampa:
tipo 0 tipo 0:

tipo > 0:

tipo 1 0
tipo 2 0 0

Sia un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento :

  • se è un disturbo sul comando (): , ;
  • se è un disturbo interno al sistema: , .

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento fra un disturbo polinomiale posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente (reiezione totale):

  • il sistema è astatico ad un disturbo costante posto lungo il ramo diretto se è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di :
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa posto lungo il ramo diretto se è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di :

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

Specifica di reiezione[modifica]

Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento del controllore : affinché un disturbo polinomiale di grado sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno) poli nell'origine.

Specifica di attenuazione[modifica]

Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario minimo della funzione di trasferimento del controllore .

Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica]

Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale di grado sull'uscita in regime permanente sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno) poli nell'origine:

  • disturbo costante : non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento del controllore;
  • disturbo a rampa : può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimo[modifica]

Se il numero di poli della funzione di trasferimento è uguale al grado del disturbo polinomiale , l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente si riduce all'aumentare del guadagno stazionario della funzione di trasferimento , e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario della funzione di trasferimento del controllore:

Note[modifica]

  1. 1,0 1,1 coincide con l'intera se il disturbo entra sull'uscita del sistema.