Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi

Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

• il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
• elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.

Tipi di disturbo

• disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
• disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente

Tipi di disturbo polinomiale

• disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:

  $d(t)=D\Rightarrow d(s)={\frac {D}{s}}$

• disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:

  $d(t)=\alpha _{d}t\Rightarrow d(s)={\frac {\alpha _{d}}{s^{2}}}$

Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

• posizione nell'anello;
• tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

Per ogni disturbo $d_{j}(t)$:

• si pongono a zero il riferimento $r(t)$ (e quindi l'uscita desiderata $y_{\text{des}}(t)$) e tutti gli altri eventuali disturbi;
• si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{j}}}_{\infty }$, cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo $d_{j}(t)$, tramite il teorema del valore finale:

  ${y_{d_{j}}}_{\infty }=\lim _{t\to +\infty }y_{d_{j}}(t)=\lim _{s\to 0}sy_{d_{j}}(s)=\lim _{s\to 0}sW_{d_{j}}(s)d_{j}(s)$

dove $W_{d_{j}}$ è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:

$W_{d_{j}}(s)={\frac {y_{d_{j}}(s)}{d_{j}(s)}}$

• si determina l'errore in regime permanente ${e_{d_{j}}}_{\infty }$ dovuto alla sola presenza del disturbo $d_{j}(t)$:

  $e(t)={\cancel {y_{\text{des}}(t)}}-y(t)\Rightarrow {e_{d_{j}}}_{\infty }=-{y_{d_{j}}}_{\infty }$

Un sistema si dice astatico ad un disturbo $d_{j}(t)$ se l'effetto ${y_{d_{j}}}_{\infty }$ di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente $e_{\infty }$ corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo $d_{j}(t)$ e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente ${e_{r}}_{\infty }$:

$e_{\infty }={e_{r}}_{\infty }+\sideset {}{_{j}}\sum {{e_{d_{j}}}_{\infty }}$

Effetti di un disturbo posto sull'uscita

Effetto sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{y}}}_{\infty }$

		Disturbo $d_{y}(t)$ posto sull'uscita
		costante: $D_{y}$	rampa: $\alpha _{d_{y}}t$
S i s t e m a	tipo 0	${\frac {D_{y}}{1+K_{Ga}}}$	$+\infty$
	tipo 1	0	${\frac {\alpha _{d_{y}}}{K_{Ga}}}$
	tipo 2	0	0

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello $G_{a}(s)=C(s)F(s)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento $W_{d_{y}}(s)$ fra un disturbo polinomiale $d_{y}(t)$ posto sull'uscita e l'uscita è data da:

$W_{d_{y}}(s)={\frac {y_{d_{y}}(s)}{d_{y}(s)}}={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}=W_{e,y}(s)$

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{y}}}_{\infty }$ (reiezione totale):

${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}sW_{d_{y}}(s)d_{y}(s)$

• il sistema è astatico ad un disturbo costante $D_{y}$ posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:

  ${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {1}{1+G_{a}(s)}}{\frac {D_{y}}{\cancel {s}}}=0,\quad G_{a}(s)={\frac {N\left(s\right)}{s}}$

• il sistema è astatico ad un disturbo a rampa $\alpha _{d_{y}}t$ posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:

  ${y_{d_{y}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {1}{1+G_{a}(s)}}{\frac {\alpha _{d_{y}}}{s^{\cancel {2}}}}=0,\quad G_{a}(s)={\frac {M\left(s\right)}{s^{2}}}$

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto

Effetto sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{i}}}_{\infty }$

		Disturbo $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto
		costante: $D_{i}$		rampa: $\alpha _{d_{i}}t$
$G_{1}(s)$	tipo 0	$G_{2}(s)$ tipo 0: ${\frac {K_{G2}D_{i}}{1+K_{G1}K_{G2}}}$	$G_{2}(s)$ tipo > 0: ${\frac {D_{i}}{K_{G1}}}$	$+\infty$
	tipo 1	0		${\frac {\alpha _{d_{i}}}{K_{G1}}}$
	tipo 2	0		0

Sia $d_{i}(t)$ un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento $G_{2}(s)$:

• se $d_{i}(t)$ è un disturbo sul comando ($d_{u}(t)$): $G_{1}(s)=C(s)$, $G_{2}(s)=F(s)$;
• se $d_{i}(t)$ è un disturbo interno al sistema: $G_{1}(s)=C(s)F_{1}(s)$, $G_{2}(s)=F_{2}(s)$.

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello $G_{a}(s)=C(s)F(s)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento $W_{d_{i}}(s)$ fra un disturbo polinomiale $d_{i}(t)$ posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

$W_{d_{i}}(s)={\frac {y_{d_{i}}(s)}{d_{i}(s)}}={\frac {G_{2}(s)}{1+G_{a}(s)}},\quad G_{a}(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)$

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d_{i}}}_{\infty }$ (reiezione totale):

${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}sW_{d_{i}}(s)d_{i}(s)$

• il sistema è astatico ad un disturbo costante $D_{i}$ posto lungo il ramo diretto se $G_{1}(s)$ è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di $G_{2}(s)$:

  ${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)}}{\frac {D_{i}}{\cancel {s}}}=0,\quad G_{1}(s)={\frac {N\left(s\right)}{s}}$

• il sistema è astatico ad un disturbo a rampa $\alpha _{d_{i}}t$ posto lungo il ramo diretto se $G_{1}(s)$ è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di $G_{2}(s)$:

  ${y_{d_{i}}}_{\infty }=\lim _{s\to 0}{\cancel {s}}{\frac {G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)}}{\frac {\alpha _{d_{i}}}{s^{\cancel {2}}}}=0,\quad G_{1}(s)={\frac {M\left(s\right)}{s^{2}}}$

Implicazioni sul progetto del controllore

Specifica di reiezione

Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore ${\mathcal {C}}$: affinché un disturbo polinomiale di grado $h$ sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo abbia (almeno) $h+1$ poli nell'origine.

Specifica di attenuazione

Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario $K_{C}$ minimo della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore ${\mathcal {C}}$.

Vincoli sul numero di poli nell'origine

Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale $d(t)$ di grado $h$ sull'uscita in regime permanente ${y_{d}}_{\infty }$ sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo abbia (almeno) $h$ poli nell'origine:

• disturbo costante $D$: non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore;
• disturbo a rampa $\alpha _{d}t$: può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimo

Se il numero di poli della funzione di trasferimento $G_{1}(s)$ è uguale al grado del disturbo polinomiale $d(t)$, l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente ${y_{d}}_{\infty }$ si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{G1}$ della funzione di trasferimento $G_{1}(s)$, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{C}$ della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore:

$\left|{y_{d}}_{\infty }\left(K_{G1}\right)\right|\leq {y_{d}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|K_{G1}\right|\geq {K_{G1}}_{\text{min}}\Rightarrow \left|K_{C}\right|\geq {K_{C}}_{\text{min}}$