Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

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Indice del libro

Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa[modifica]

Dependence between open-loop and closed-loop function.png
Ipotesi
  • la funzione d'anello è strettamente propria con zeri e poli;
  • la funzione di trasferimento in catena chiusa è strettamente propria con zeri e poli;
  • il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello arriva da a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over e va verso ad alte frequenze.
Dipendenze tra la funzione d'anello e la funzione di trasferimento in catena chiusa
  • e hanno gli stessi zeri:
  • e hanno lo stesso numero di poli:
  • in bassa frequenza, è approssimabile a 1, e i poli di sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di ):
  • nella banda intorno alla pulsazione di cross-over , è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
  • in alta frequenza, è approssimabile a , e i poli di sono approssimabili ai poli di (in alta frequenza la catena rimane aperta):

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine[modifica]

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa è approssimata ad un modello di riferimento che ha la sola dinamica del 2º ordine:

dove è dato e .

La corrispondente funzione d'anello di riferimento è di tipo 1:

Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento
  • guadagno stazionario di velocità :
  • pulsazione di cross-over :
  • margine di fase :
  • margine di guadagno : è infinito perché non ha mai fase pari a .
Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento
  • guadagno stazionario :[1]
  • picco di risonanza :
  • pulsazione relativa alla banda passante a :
Risposta al gradino unitario
  • risposta al gradino unitario:
    • : sovraelongazione massima (relativa);
    • : tempo corrispondente a ;
    • : tempo di salita;
    • : tempo di salita dal 10% al 90%;
    • : tempo di assestamento a .
Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento

Note[modifica]

  1. Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.