Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa

Ipotesi

• la funzione d'anello $G_{a}(s)$ è strettamente propria con $m_{a}$ zeri e $n_{a}>m_{a}$ poli;
• la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ è strettamente propria con $m_{W}$ zeri e $n_{W}>m_{W}$ poli;
• il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello $G_{a}(s)$ arriva da $+\infty$ a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ e va verso $-\infty$ ad alte frequenze.

Dipendenze tra la funzione d'anello $G_{a}(s)$ e la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$

$W_{y}(s)={\frac {N_{W}(s)}{D_{W}(s)}}={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}={\frac {N_{a}(s)}{D_{a}(s)+N_{a}(s)}}$

• $G_{a}(s)$ e $W_{y}(s)$ hanno gli stessi zeri:

  $\forall \omega :\;N_{a}(s)=N_{W}(s)\Rightarrow {\begin{cases}m_{W}=m_{A}\\{\zeta _{W}}_{j}={\zeta _{a}}_{j},\quad j=1,\ldots ,m_{a}\end{cases}}$

• $G_{a}(s)$ e $W_{y}(s)$ hanno lo stesso numero di poli:

  $\forall \omega :\;D_{W}(s)=D_{a}(s)+N_{a}(s)\Rightarrow n_{W}=n_{A}$

• in bassa frequenza, $W_{y}(s)$ è approssimabile a 1, e i poli di $W_{y}(s)$ sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di $G_{a}(s)$):

  $\omega \ll \omega _{c}:\;\left|G_{a}(s)\right|\gg 1\Rightarrow D_{W}(s)\cong N_{W}(s)=N_{a}(s)\Rightarrow \forall \lambda _{W},\zeta _{a}:\;\lambda _{W}\approx \zeta _{a}\Rightarrow W_{y}(s)\cong 1$

• nella banda intorno alla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$, $W_{y}(s)$ è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):

  $W_{y}(s)\cong {\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}$

• in alta frequenza, $W_{y}(s)$ è approssimabile a $G_{a}(s)$, e i poli di $W_{y}(s)$ sono approssimabili ai poli di $G_{a}(s)$ (in alta frequenza la catena rimane aperta):

  $\omega \gg \omega _{c}:\;\left|G_{a}(s)\right|\ll 1\Rightarrow {\frac {N_{W}(s)}{D_{W}(s)}}\cong {\frac {N_{a}(s)}{D_{a}(s)}}\Rightarrow \forall \lambda _{W},\lambda _{a}:\;\lambda _{W}\approx \lambda _{a}\Rightarrow W_{y}(s)\cong G_{a}(s)$

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ è approssimata ad un modello di riferimento ${W_{y}}_{\text{rif}}(s)$ che ha la sola dinamica del 2º ordine:

${W_{y}}_{\text{rif}}(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}$

dove $\omega _{n}$ è dato e $\zeta \in \left(0,3;0,7\right)$.

La corrispondente funzione d'anello di riferimento ${G_{a}}_{\text{rif}}(s)$ è di tipo 1:

${G_{a}}_{\text{rif}}(s)={\frac {{W_{y}}_{\text{rif}}(s)}{1-{W_{y}}_{\text{rif}}(s)}}={\frac {\omega _{n}^{2}}{s\left(s+2\zeta \omega _{n}\right)}}$

Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento ${G_{a}}_{\text{rif}}(s)$

• guadagno stazionario di velocità $K_{v}$:

  $K_{v}={\frac {\omega _{n}}{2\zeta }}$

• pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:

  $\omega _{c}=\omega _{n}{\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}$

• margine di fase $m_{\phi }$:

  $m_{\phi }={\rm {{arctg}\left({\frac {2\zeta \omega _{n}}{\omega _{c}}}\right)}}$

• margine di guadagno $m_{G}$: è infinito perché ${G_{a}}_{\text{rif}}$ non ha mai fase pari a $-{180}^{\circ }$.

Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento ${W_{y}}_{\text{rif}}(s)$

• guadagno stazionario $K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}$:

  $K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}={W_{y}}_{\text{rif}}(0)=1$

• picco di risonanza $M_{r}$:

  $M_{r}={\frac {\max {\left(\left|{W_{y}}_{\text{rif}}\left(j\omega \right)\right|\right)}}{\left|K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}\right|}}={\frac {\left|{W_{y}}_{\text{rif}}\left(j\omega _{r}\right)\right|}{1}}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}},\quad {\begin{cases}0<\zeta <{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\omega _{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}\end{cases}}$

• pulsazione $\omega _{B}$ relativa alla banda passante a $-3{\text{ dB}}$:

  $\omega _{B}=\omega _{n}R,\quad {\begin{cases}R={\sqrt {1-2\zeta ^{2}+{\sqrt {2-4\zeta ^{2}+4\zeta ^{4}}}}}\\\forall \omega \leq \omega _{B}:\;{\frac {\left|{W_{y}}_{\text{rif}}(j\omega )\right|}{\left|K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}\right|}}\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx -3{\text{ dB}}\end{cases}}$

Risposta al gradino unitario ${y_{g}}_{{W_{y}}_{\text{rif}}}(t)$

• risposta al gradino unitario:

  ${y_{g}}_{{W_{y}}_{\text{rif}}}(t)=1-{\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin {\left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t+\phi \right)},\quad \phi ={\rm {{arctg}{\left({\sqrt {{\frac {1}{\zeta ^{2}}}-1}}\right)}}}$

  • ${\hat {s}}$: sovraelongazione massima (relativa);
  • ${\hat {t}}$: tempo corrispondente a ${\hat {s}}$;
  • $t_{s}$: tempo di salita;
  • $t_{r}$: tempo di salita dal 10% al 90%;
  • $t_{a\varepsilon }$: tempo di assestamento a $\pm \varepsilon$.

Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento ${W_{y}}_{\text{rif}}(s)$

• ${\hat {s}}=e^{-{\frac {\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$
• $\omega _{B}t_{r}\cong {\frac {2,048R}{1,561-\zeta }}-0,2923R\cong 2$
• $\omega _{B}t_{s}={\frac {R}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left(\pi -{\rm {{arctg}{\sqrt {\zeta ^{-2}-1}}}}\right)\cong 3$
• $\omega _{B}{\hat {t}}={\frac {\pi R}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\cong 4,5$
• $\omega _{B}t_{a\varepsilon }\cong {\frac {-\log {\left(\varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)}}{\zeta }}R$
• ${\frac {\omega _{c}}{\omega _{B}}}={\frac {\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}{R}}\cong 0,63$
• ${\frac {1+{\hat {s}}}{M_{r}}}=2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\left(1+e^{-\pi {\frac {\zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)\cong 0,9$
• $m_{\varphi }M_{r}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{\rm {{arctg}{\frac {2\zeta }{\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}}\cong 1,05{\text{ rad}}\cong 60^{\circ }}}$