Controlli automatici/Sistemi di controllo digitali

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Sistema di controllo digitale[modifica]

Schema base di un sistema di controllo digitale

Campionatore[modifica]

Il campionatore è un convertitore A/D che genera in uscita la sequenza di campioni con passo di campionamento a partire dall'errore di inseguimento :

  • nel dominio del tempo:
  • nel dominio della trasformata zeta:
  • nel dominio della trasformata di Laplace:

Il passo di campionamento deve essere sufficientemente piccolo:

  • il teorema del campionamento impone una pulsazione di campionamento maggiore del doppio della pulsazione di banda :
  • la riduzione del margine di fase introdotta dal ricostruttore deve essere contenuta:

Il passo di campionamento non deve essere troppo piccolo, per non incorrere in:

  • problemi di quantizzazione;
  • necessità di utilizzare processori costosi per garantire elevate prestazioni.

Ricostruttore[modifica]

Ricostruzione del segnale tramite un filtro Z.O.H.

Il ricostruttore è un convertitore D/A che genera il comando a partire dalla sua sequenza di campioni . Il filtro Z.O.H. di ordine zero mantiene nell'intervallo il comando pari al valore dell'ultimo campione acquisito. La funzione di trasferimento del filtro Z.O.H. si può approssimare a una funzione razionale tramite l'approssimazione di Padè del I ordine:


La funzione di trasferimento del filtro Z.O.H. ha un polo in che crea una perdita di fase in corrispondenza della pulsazione di taglio , cioè una riduzione del margine di fase . Riducendo via via il passo di campionamento , il polo si sposta ad una pulsazione sufficientemente elevata rispetto alla pulsazione di taglio con conseguente riduzione della perdita del margine di fase .

Controllore digitale[modifica]

Il controllore digitale è definito dalla sua funzione di trasferimento nel dominio della trasformata zeta, che è calcolabile tramite un metodo di discretizzazione a partire dalla funzione del controllore analogico.

Metodi di approssimazione dell'integrazione nel tempo
  • metodo delle differenze all'indietro: approssima mantenendo costante l'ultimo campione:
    metodo non valido: genera forti distorsioni
  • metodo delle differenze in avanti: approssima mantenendo costante il prossimo campione:
    metodo non valido: non garantisce la stabilità di ottenuta a partire da stabile
  • trasformazione bilineare (o di Tustin): approssima tramite trapezi:
    metodo valido: genera distorsioni ridotte, e garantisce la stabilità di ottenuta a partire da stabile
  • trasformazione bilineare con precompensazione in frequenza: precalcola e compensa la distorsione alla pulsazione di taglio :
    metodo valido: genera distorsioni molto ridotte, e garantisce la stabilità di ottenuta a partire da stabile
Altri metodi
  • metodo di invarianza della risposta all'impulso: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso ad impulso la sequenza di campioni all'uscita di coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di :
    metodo non valido: non garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo di invarianza della risposta al gradino: garantisce che a fronte di un medesimo ingresso a gradino la sequenza di campioni all'uscita di coincida con la sequenza di valori assunti negli istanti di campionamento dall'uscita di , ed è equivalente a considerare in cascata a un fittizio filtro Z.O.H.:
metodo valido: garantisce l'assenza di aliasing
  • metodo della corrispondenza poli-zeri: calcola direttamente i poli e gli zeri di a partire da quelli di ():
    metodo valido

Progetto per la realizzazione del controllore digitale[modifica]

  1. si sceglie il passo di campionamento :
    • si considera come prima scelta un valore dell'ordine di qualche millisecondo:
    • si valuta il nuovo margine di fase della funzione d'anello corrispondente alla cascata del campionatore, del controllore e del filtro Z.O.H. approssimato (basta introdurre il termine a denominatore della funzione d'anello del sistema da controllare);
    • se il margine di fase risulta insufficiente, si riduce il passo di campionamento per quanto possibile;
  2. si sceglie un metodo di discretizzazione e si calcola la funzione del controllore digitale a partire da ;
  3. si verifica il comportamento del sistema complessivo in presenza del controllore digitale :
    • analisi a tempo discreto (in frequenza e nel tempo): si trasformano in zeta la funzione d'anello e la funzione di trasferimento in catena chiusa del sistema, scegliendo il metodo di invarianza della risposta al gradino come metodo per trasformare la funzione del sistema da controllare;
    • simulazione del sistema ibrido con Simulink.