Controlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
Jump to navigation Jump to search
Indice del libro

Caratteristiche di un sistema di controllo in retroazione[modifica]

Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in assenza di disturbi

Un sistema di controllo in retroazione, in assenza di disturbi, avente una funzione d'anello in forma minima e priva di zeri nell'origine, è di tipo se la sua funzione d'anello ha un polo nell'origine () di molteplicità .

Il guadagno stazionario della funzione d'anello del sistema di controllo in retroazione di tipo in esame è definito:

  • se il sistema è di tipo 0, il guadagno stazionario è detto guadagno di posizione:
  • se il sistema è di tipo 1, il guadagno stazionario è detto guadagno di velocità:
  • se il sistema è di tipo 2, il guadagno stazionario è detto guadagno di accelerazione:

La funzione di trasferimento d'errore del sistema di controllo in retroazione in esame è definita:

Segnali canonici di riferimento[modifica]

Le specifiche relative alla precisione di inseguimento in regime permanente vengono formulate in riferimento a un certo segnale canonico polinomiale :

dove è il grado del segnale :

  • : gradino:
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: posizione costante pari a
  • : rampa:
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: velocità costante pari a
  • : arco di parabola:
es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: accelerazione costante pari a

Esistono inoltre i segnali canonici di riferimento sinusoidali:

Inseguimento di riferimenti polinomiali[modifica]

Errore in regime permanente
Riferimento
grado 0: grado 1: grado 2:
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0
tipo 1 0
tipo 2 0 0

Tramite il teorema del valore finale è possibile valutare l'errore di inseguimento in regime permanente :

Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale di grado :

  • se il tipo del sistema è pari a , l'errore di inseguimento in regime permanente è finito e non nullo, e diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario → anche in assenza di disturbi si ha un errore intrinseco in regime permanente , che può essere ridotto (ma non annullato) aumentando il guadagno stazionario ;
  • se il tipo del sistema è maggiore di , l'errore di inseguimento in regime permanente è sempre nullo → il sistema è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e l'uscita del sistema converge perfettamente al valore desiderato ;
  • se il tipo del sistema è minore di , l'errore di inseguimento in regime permanente è sempre infinito → il sistema non è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e la distanza tra l'uscita del sistema e il valore desiderato cresce indefinitamente.[1]

Sistemi con zeri nell'origine[modifica]

Se la funzione d'anello presenta almeno uno zero nell'origine (), il sistema risulta certamente di tipo 0: essendo in forma minima per ipotesi, la funzione d'anello non può presentare poli nell'origine → il sistema non è in grado di inseguire segnali canonici di riferimento polinomiali di grado superiore a zero.

Nel caso del segnale canonico di riferimento polinomiale di grado zero, l'unico che il sistema è in grado di inseguire:

l'uscita del sistema converge a zero in regime permanente:

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente (riferite a riferimenti polinomiali) possono imporre vincoli sulla funzione d'anello . Dato un processo con funzione di trasferimento (che include il sistema da controllare ), i vincoli sono imposti sulla funzione di trasferimento del controllore .

Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica]

Sia il numero di poli nell'origine di una generica funzione di trasferimento . Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale di grado , l'errore di inseguimento in regime permanente è finito se il sistema è almeno di tipo :

Dato un processo , e quindi noto , per garantire che il sistema sia almeno di tipo :

  • se , non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento perché l'errore in regime permanente risulta già finito se o nullo se ;
  • se , è necessario che la funzione di trasferimento abbia un numero di poli nell'origine pari a .[2]

Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale di grado , l'errore di inseguimento in regime permanente è nullo se il sistema è almeno di tipo :

Dato un processo , e quindi noto , per garantire che il sistema sia almeno di tipo :

  • se , non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento perché l'errore in regime permanente risulta già nullo;
  • se , è necessario che la funzione di trasferimento abbia un numero di poli nell'origine pari a .[3]

Vincoli sul guadagno stazionario[modifica]

Se il tipo del sistema è pari al grado del riferimento polinomiale , l'errore di inseguimento in regime permanente , finito e non nullo, si riduce all'aumentare del guadagno stazionario della funzione d'anello , e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario della funzione di trasferimento del controllore:

Note[modifica]

  1. Un errore di inseguimento infinito non significa che l'uscita del sistema diverge.
  2. Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che , ma limitandosi a poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento .
  3. Teoricamente è possibile introdurre un numero di poli arbitrario tale che , ma limitandosi a poli si evita di complicare inutilmente la funzione di trasferimento .