Controlli automatici/Funzione di sensibilità

Sensibilità parametrica

Funzione di sensibilità rispetto a una variazione parametrica

La funzione di sensibilità $S_{p}^{W_{y}}$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ rispetto ad un parametro $p$:

$S_{p}^{W_{y}}={\frac {\frac {\partial W_{y}(s)}{W_{y}(s)}}{\frac {\partial p}{p}}}$

dove:

• ${\tfrac {\partial W_{y}(s)}{W_{y}(s)}}$ è la variazione relativa della funzione $W_{y}(s)$ come conseguenza della variazione del parametro $p$;
• ${\tfrac {\partial p}{p}}$ è la variazione relativa del parametro $p$;

misura l'influenza di variazioni sul parametro $p$ sulla fedeltà di risposta del sistema controllato:

• se la funzione di sensibilità $S_{p}^{W_{y}}$ è molto minore di 1, la funzione $W_{y}(s)$ risulta poco sensibile alle variazioni del parametro $p$, e quindi la risposta del sistema non varia significativamente al variare del parametro $p$;
• se la funzione di sensibilità $S_{p}^{W_{y}}$ è prossima a 1 o maggiore, la funzione $W_{y}(s)$ risulta molto sensibile alle variazioni del parametro $p$, e quindi la risposta del sistema varia pesantemente al variare del parametro $p$.

Sensibilità del sistema

Separando la sensibilità di $W_{y}(s)$ rispetto a $G_{a}(s)$ e la sensibilità di $G_{a}(s)$ rispetto a $p$:

$S_{p}^{W_{y}}=S_{G_{a}}^{W_{y}}\cdot S_{p}^{G_{a}}=\underbrace {\frac {\frac {\partial W_{y}(s)}{W_{y}(s)}}{\frac {\partial G_{a}(s)}{G_{a}(s)}}} _{S_{G_{a}}^{W_{y}}}\cdot \underbrace {\frac {\frac {\partial G_{a}(s)}{G_{a}(s)}}{\frac {\partial p}{p}}} _{S_{p}^{G_{a}}}$

si definisce sensibilità del sistema $S(s)$ la funzione di sensibilità $S_{G_{a}}^{W_{y}}$ della funzione di trasferimento $W_{y}(s)$ rispetto alla funzione d'anello $G_{a}(s)$:

$S(s)\triangleq S_{G_{a}}^{W_{y}}={\frac {\frac {\partial W_{y}(s)}{W_{y}(s)}}{\frac {\partial G_{a}(s)}{G_{a}(s)}}}={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}\Rightarrow S(s)+W_{y}(s)=1$

Dimostrazione

$S_{p}^{W_{y}}={\frac {\partial W_{y}(s)}{\partial p}}\cdot {\frac {p}{W_{y}(s)}}=\underbrace {{\frac {\partial W_{y}(s)}{\partial G_{a}(s)}}\cdot {\frac {\partial G_{a}(s)}{\partial p}}} _{\frac {\partial W_{y}(s)}{\partial p}}\cdot {\frac {p}{W_{y}(s)}}\cdot {\frac {G_{a}(s)}{G_{a}(s)}}=\underbrace {{\frac {\partial W_{y}(s)}{\partial G_{a}(s)}}\cdot {\frac {G_{a}(s)}{W_{y}(s)}}} _{S_{G_{a}}^{W_{y}}=S(s)}\cdot \underbrace {{\frac {\partial G_{a}(s)}{\partial p}}\cdot {\frac {p}{G_{a}(s)}}} _{S_{p}^{G_{a}}}$

${\begin{cases}W_{y}(s)={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}\\S(s)={\frac {\partial W_{y}(s)}{\partial G_{a}(s)}}\cdot {\frac {G_{a}(s)}{W_{y}(s)}}\end{cases}}\Rightarrow S(s)={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}\Rightarrow S(s)+W_{y}(s)={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}+{\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}=1$

• se le variazioni parametriche riguardano la funzione $C(s)$ del controllore, la sensibilità $S_{p}^{W_{y}}$ del sistema in catena chiusa può essere contenuta sia agendo sulla "qualità realizzativa" del controllore per ridurre la funzione di sensibilità $S_{p}^{G_{a}}$, sia riducendo la sensibilità $S(s)$;
• se le variazioni parametriche riguardano la funzione $F(s)$ del sistema da controllare, la sensibilità $S_{p}^{W_{y}}$ del sistema in catena chiusa può essere contenuta solo riducendo la sensibilità $S(s)$.

Possibili andamenti in frequenza del modulo della sensibilità $S(s)$ del sistema

In presenza di ingressi e/o disturbi sinusoidali, la sensibilità $S(s)$ è bassa solo in bassa frequenza:

• il sistema riesce ad inseguire con buona precisione un ingresso di riferimento sinusoidale $r(t)$:

  $r(t)=\sin {\left(\omega _{0}t\right)}$

solo se la pulsazione $\omega _{0}$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{e,y}(s)={\frac {e(s)}{y_{\text{des}}(s)}}\Rightarrow E=\left|W_{e}\left(j\omega _{0}\right)\right|=\left|K_{r}\right|\left|W_{e,y}\left(j\omega _{0}\right)\right|=\left|K_{r}\right|\left|S\left(j\omega _{0}\right)\right|$

• il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale ${d_{y}}_{\text{sin}}(t)$ posto sull'uscita $y(t)$:

${d_{y}}_{\text{sin}}(t)=D_{s}\sin {\left(\omega _{d}t\right)}$

solo se la pulsazione $\omega _{d}$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{{d_{y}}_{\text{sin}}}(s)={\frac {{d_{y}}_{\text{sin}}(s)}{y(s)}}\Rightarrow Y_{d,p}=D_{s}\left|W_{{d_{y}}_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right|=D_{s}\left|S\left(j\omega _{d}\right)\right|$

• il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale ${d_{u}}_{\text{sin}}(t)$ posto sul comando $u(t)$:

${d_{u}}_{\text{sin}}(t)=D_{s}\sin {\left(\omega _{d}t\right)}$

solo se la pulsazione $\omega _{d}$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{{d_{u}}_{\text{sin}}}(s)={\frac {{d_{u}}_{\text{sin}}(s)}{u(s)}}\Rightarrow Y_{d,p}=D_{s}\left|W_{{d_{u}}_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right|=D_{s}\left|S\left(j\omega _{d}\right)\right|$

Implicazioni sul progetto del controllore

La sensibilità $S(s)$ attraversa l'asse a 0 dB in un intorno della pulsazione di taglio $\omega _{c}$ della funzione $G_{a}(s)$ → se si vuole imporre che la sensibilità attraversi l'asse a 0 dB a una pulsazione inferiore a una data $\omega _{M}$, è necessario scegliere una pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ abbastanza superiore a $\omega _{M}$, ma non eccessivamente per non allargare troppo la banda $\omega _{B}$. Come prima scelta:

$\left|S\left(j\omega \right)\right|<1{\text{ per }}\omega <\omega _{M}\Rightarrow {\omega _{c}}_{\text{des}}=1,5\omega _{M}$

All'inserimento di una rete attenuatrice, la sensibilità $S(s)$ del sistema aumenta nell'intervallo di pulsazioni in cui il modulo della funzione d'anello $G_{a}(s)$ è diminuito → è opportuno evitare di collocare le reti attenuatrici a pulsazioni $x_{i}$ troppo basse.