La risposta in frequenza descrive la risposta in regime permanente
di un sistema asintoticamente stabile a un segnale sinusoidale.
Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato l'ingresso di riferimento sinusoidale
:
![{\displaystyle r(t)=\sin {\left(\omega _{0}t\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80c99b1d9e3ec75ef725c54956deed45cfe8236)
l'errore di inseguimento in regime permanente
è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento d'errore
all'ingresso
:
![{\displaystyle e_{p}(t)=E\sin {\left(\omega _{0}t+\varphi _{e}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a28071ab76aa1d9f72d6910f6e62d2fb095ce7)
dove:
![{\displaystyle E=\left|W_{e}\left(j\omega _{0}\right)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c397a099d9f50a562849c064fb729856518173)
![{\displaystyle \varphi _{e}=\arg {\left(W_{e}\left(j\omega _{0}\right)\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa678db9da1cbfb9013f027661073129c023e54)
![{\displaystyle W_{e}(s)={\frac {e(s)}{r(s)}}={\frac {K_{r}}{1+G_{a}(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7036bebf918da76c2a2d3d765cce2a0afb8bc3)
L'errore di inseguimento in regime permanente
massimo, pari a
(per le proprietà del seno), è piccolo se la funzione d'anello
è sufficientemente grande alla pulsazione
dell'ingresso:
![{\displaystyle E=\left|{\frac {K_{r}}{1+G_{a}\left(j\omega _{0}\right)}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b3f4f07427f51bf93b8016c280df03410661f4)
Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente
a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello
, in particolare sulla pulsazione di cross-over
rispetto alla pulsazione
dell'ingresso:
![{\displaystyle \left|e_{p}\right|\leq {e_{p}}_{\text{max}}\Rightarrow E\leq {e_{p}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{0}\right)\right|\geq {G_{a}}_{\text{min}}\Rightarrow \omega _{0}\ll \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\gg \omega _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67359ab90011ac57276366a8fbac2ca186049600)
Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato il disturbo sinusoidale
:
![{\displaystyle d_{\text{sin}}(t)=D_{s}\sin {\left(\omega _{d}t\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fa69a2b6ce87a984ceda41a32049c85a19777f)
l'effetto
sull'uscita in regime permanente
è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento
al disturbo
:
![{\displaystyle {y_{p}}_{\text{sin}}(t)=Y_{d,p}\sin {\left(\omega _{d}t+\varphi _{d}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3767acd29ddef3b0c7df1f3c66a8cbfba011e416)
dove:
![{\displaystyle Y_{d,p}=D_{s}\left|W_{d_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa2e65eb2a4c817657ef741c48d6a3c1fc38bce)
![{\displaystyle \varphi _{d}=\arg {\left(W_{d_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68c293026dc7e1e5e24312c3248ca02cc8f9121)
![{\displaystyle W_{d_{\text{sin}}}(s)={\frac {y(s)}{d_{\text{sin}}(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d4c4fbfba38856e161a1a35ff45853b9604133)
L'effetto
massimo del disturbo sull'uscita in regime permanente, pari a
(per le proprietà del seno), è piccolo, cioè il disturbo
è molto attenuato, se il modulo della funzione di trasferimento
è sufficientemente piccolo alla pulsazione del disturbo
.
- Disturbo posto sull'uscita
L'attenuazione di un disturbo sinusoidale
posto sull'uscita
è tanto più elevata quanto è grande la funzione d'anello
alla pulsazione
del disturbo → sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over
:
![{\displaystyle {W_{{d_{y}}_{\text{sin}}}}(s)={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508aabbd3fe202f4e05fd2453c454c6ebdf1ffc7)
- Disturbo posto sul riferimento
L'attenuazione di un disturbo sinusoidale
posto sul riferimento
è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello
alla pulsazione
del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over
:
![{\displaystyle {W_{{d_{r}}_{\text{sin}}}}(s)={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e547f19b6f330a66a2ae6f3be5ca3aa61c9688)
- Disturbo posto sulla retroazione
L'attenuazione di un disturbo sinusoidale
posto sulla retroazione è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello
alla pulsazione
del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over
:
![{\displaystyle {W_{{d_{m}}_{\text{sin}}}}(s)=-{\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}=-{W_{{d_{r}}_{\text{sin}}}}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16701043383a8e46ca7b86db092f766cf0817379)
Le specifiche sull'attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello
, in particolare sulla pulsazione di cross-over
rispetto alla pulsazione
del disturbo:
- disturbo posto sull'uscita:
![{\displaystyle {y_{p}}_{\text{sin}}(t)\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{d}\right)\right|\geq {G_{a}}_{\text{min}}\Rightarrow \omega _{d}\ll \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\gg \omega _{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a464cf838b9e318ad3d9661fbc637304db0baffa)
- disturbo posto sul riferimento o sulla retroazione:
![{\displaystyle {y_{p}}_{\text{sin}}(t)\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{d}\right)\right|\leq {G_{a}}_{\text{max}}\Rightarrow \omega _{d}\gg \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\ll \omega _{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563abc12b5e27fc5638af501ca1c0c0efc8c32f5)