Controlli automatici/Regolatori PID

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Indice del libro

Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.

Modello dei regolatori PID[modifica]

La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:

combina tre tipi di azioni:

  • azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine proporzionale all'errore di inseguimento;
  • azione integrale: la legge di controllo ha un termine proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
  • azione derivativa: la legge di controllo ha un termine proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.

Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni , e del regolatore sono positivi o nulli.

La funzione di trasferimento ideale di un regolatore PID è data da:

dove:

  • è detto tempo integrale:
  • è detto tempo derivativo:

Realizzazione pratica dei regolatori PID[modifica]

La funzione di trasferimento ideale è impropria per → affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura , cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio evitando di ridurre il margine di fase:

Il parametro non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:

Sottocasi[modifica]

  • regolatore P: usato per sistemi semplici e stabili in catena aperta anche in assenza del polo nell'origine (azione integrale):
  • regolatore PI: usato per sistemi che richiedono nello stesso tempo un polo nell'origine (azione integrale) e un buon anticipo di fase (zero):
  • regolatore PD: corrisponde a una rete anticipatrice con polo pari al polo di chiusura (molto grande):

Accorgimenti realizzativi[modifica]

In presenza del regolatore PID , la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa presenta come zeri quelli del regolatore PID e quelli del sistema da controllare :

PID regulator for non-step inputs.png

Inoltre, in caso di un ingresso a gradino l'uscita del blocco derivativo , e di conseguenza il comando , si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo e proporzionale , si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione rimangono i soli zeri del sistema da controllare :

Enhanced PID regulator.png

Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.

Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).

Metodi di taratura[modifica]

I parametri , e del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:

  • in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
  • in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.
Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura
Anello chiuso Anello aperto
Ziegler e Nichols Ziegler e Nichols Cohen e Coon IMC
Regolatore
P
Regolatore
PI
Regolatore
PID

I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.

Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso[modifica]

Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante .

Una volta determinati e , si calcolano i parametri , e del regolatore.

Quando viene raggiunto il valore , il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile[1] coincide con il margine di guadagno del sistema →

  • le oscillazioni di periodo hanno pulsazione :
  • il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.

Imposizione del margine di fase[modifica]

Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

È possibile imporre un margine di fase desiderato imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello (non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:[2]

Metodi di taratura in anello aperto[modifica]

I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare :

dove:

  • è il guadagno della funzione ;
  • è la costante di tempo del polo dominante;
  • è il ritardo temporale della risposta al gradino.

Questi metodi sono applicabili a sistemi:

  • ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
  • asintoticamente stabili in catena aperta;
  • con risposta al gradino monotona.

Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza , si determinano , e tramite il metodo della tangente:

Tangent method for open-loop calibration methods.png

Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto[modifica]

Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

Metodo di Cohen e Coon[modifica]

Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.

Metodo di controllo a modello interno[modifica]

Il metodo di controllo a modello interno (IMC) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare con il suo modello approssimato :

IMC model.png

dove:

  • è la differenza tra il sistema da controllare e il suo modello approssimato ;
  • è l'inverso della parte a fase minima di ;
  • è un filtro del I ordine:

Il blocco non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →

  • si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di nel seguente modo:
  • si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di nel seguente modo:

All'aumentare del parametro del filtro del I ordine , la banda passante diminuisce e i margini di guadagno e di fase aumentano.

Note[modifica]

  1. Dato il rischio di giungere facilmente all'instabilità, al posto del controllore statico può essere impiegato un relè senza isteresi.
  2. Si suppongono zeri idealmente coincidenti: