Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.
Modello dei regolatori PID[modifica]
La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:

combina tre tipi di azioni:
- azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine
proporzionale all'errore di inseguimento;
- azione integrale: la legge di controllo ha un termine
proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
- azione derivativa: la legge di controllo ha un termine
proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.
Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni
,
e
del regolatore sono positivi o nulli.
La funzione di trasferimento ideale
di un regolatore PID è data da:

dove:
è detto tempo integrale:

è detto tempo derivativo:

Realizzazione pratica dei regolatori PID[modifica]
La funzione di trasferimento ideale
è impropria per
→ affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura
, cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio
evitando di ridurre il margine di fase:

Il parametro
non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:

- regolatore P: usato per sistemi semplici e stabili in catena aperta anche in assenza del polo nell'origine (azione integrale):

- regolatore PI: usato per sistemi che richiedono nello stesso tempo un polo nell'origine (azione integrale) e un buon anticipo di fase (zero):

- regolatore PD: corrisponde a una rete anticipatrice con polo pari al polo di chiusura (molto grande):

Accorgimenti realizzativi[modifica]
In presenza del regolatore PID
, la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa
presenta come zeri quelli del regolatore PID
e quelli del sistema da controllare
:
Inoltre, in caso di un ingresso
a gradino l'uscita del blocco derivativo
, e di conseguenza il comando
, si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando
raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo
e proporzionale
, si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione
rimangono i soli zeri del sistema da controllare
:
Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.
Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).
Metodi di taratura[modifica]
I parametri
,
e
del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:
- in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
- in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.
Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura
|
Anello chiuso |
Anello aperto
|
Ziegler e Nichols |
Ziegler e Nichols |
Cohen e Coon |
IMC
|
Regolatore P |
|
 |
 |
 |
|
Regolatore PI |
|
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
|
Regolatore PID |
|
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
|
|
 |
 |
 |
|
I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.
Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso[modifica]
Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore
e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante
.
Una volta determinati
e
, si calcolano i parametri
,
e
del regolatore.
Quando viene raggiunto il valore
, il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile[1] →
coincide con il margine di guadagno
del sistema →
- le oscillazioni di periodo
hanno pulsazione
:

- il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.
Imposizione del margine di fase[modifica]
Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.
È possibile imporre un margine di fase desiderato
imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello
(non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:[2]

Metodi di taratura in anello aperto[modifica]
I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare
:

dove:
è il guadagno della funzione
;
è la costante di tempo del polo dominante;
è il ritardo temporale della risposta al gradino.
Questi metodi sono applicabili a sistemi:
- ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
- asintoticamente stabili in catena aperta;
- con risposta al gradino monotona.
Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza
, si determinano
,
e
tramite il metodo della tangente:
Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto[modifica]
Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.
Metodo di Cohen e Coon[modifica]
Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.
Metodo di controllo a modello interno[modifica]
Il metodo di controllo a modello interno (IMC) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare
con il suo modello approssimato
:

dove:
è la differenza tra il sistema da controllare
e il suo modello approssimato
;
è l'inverso della parte a fase minima di
;
è un filtro del I ordine:

Il blocco
non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →
- si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di
nel seguente modo:

- si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di
nel seguente modo:

All'aumentare del parametro
del filtro del I ordine
, la banda passante
diminuisce e i margini di guadagno
e di fase
aumentano.
- ↑ Dato il rischio di giungere facilmente all'instabilità, al posto del controllore statico può essere impiegato un relè senza isteresi.
- ↑ Si suppongono zeri idealmente coincidenti:
