Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali

Campo

Si dice campo un insieme $\mathbb {E}$ sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se $x,y,z\in \mathbb {E}$ allora:

per l'addizione

1. $x+y\in \mathbb {E}$ (chiusura rispetto all'addizione)
2. $x+y=y+x\!$ (proprietà commutativa)
3. $(x+y)+z=x+(y+z)\!$ (proprietà associativa)
4. $\exists 0\in \mathbb {E} :\forall x\in \mathbb {E} :x+0=x$ (elemento neutro rispetto all'addizione)
5. $\forall x\in \mathbb {E} \quad \exists -x\in \mathbb {E} :x+(-x)=0$ (elemento opposto)

per la moltiplicazione

1. $x\cdot y\in \mathbb {E}$ (chiusura rispetto alla moltiplicazione)
2. $x\cdot y=y\cdot x$ (proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione)
3. $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ (proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione)
4. $\exists 1\in \mathbb {E} :\forall x\in \mathbb {E} \quad 1\cdot x=x$ (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)
5. $\forall x\in \mathbb {E} \setminus {\{0\}}\quad \exists 1/x\in E:x\cdot (1/x)=1$ (elemento inverso rispetto alla moltiplicazione)
6. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ (proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione)

Esempi:Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ sono due esempi molto importanti di campi.

Spazio vettoriale

Definizione

Si dice spazio vettoriale rispetto ad un campo $\mathbb {E}$ un insieme $V$ sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':

Proprietà

siano $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ e $\alpha ,\beta \in \mathbb {E}$

allora

1. $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in V$
2. $\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$
3. $(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z} =\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )$
4. $\exists \mathbf {0} \in V:\forall \mathbf {x} \in V:\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {x}$
5. $\forall \mathbf {x} :\exists -\mathbf {x} :\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$
6. $\alpha \mathbf {x} \in V$
7. $\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \cdot \beta )\mathbf {x}$
8. $\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$
9. $(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$

• Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, ed il vettore

$\mathbf {v} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {x} _{i}$

si dice combinazione lineare dei vettori $\mathbf {x} _{i}\in V$ con coefficienti $c_{i}\in \mathbb {E}$;

• Se $S\subseteq V$, l'insieme $<S>\!$ di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in $S$ si dice inviluppo lineare (span) di $S$, oppure si dice che $<S>\!$ genera (spans) $S$.

• I vettori $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{k}$ si dicono linearmente indipendenti se

$\sum _{i=1}^{k}c_{i}\mathbf {x} _{i}=\mathbf {0} :\Rightarrow c_{i}=0\quad \forall i=1,\ldots ,k$

si dicono dipendenti in caso contrario.

• Se uno spazio vettoriale $V$ contiene r vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene r+1 si dice che ha dimensione r, e si scrive $\dim V=r$.

• Un insieme $S$ di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di $S$ sono linearmente indipendenti.

• Un sottoinsieme $B\subseteq V$ che generi $V$ e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice base di $V$.

È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di $V$ come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.

Teorema 2.3.3.

Se uno spazio vettoriale è generato da un insieme di r vettori, allora $\dim V\leq r$.

Se $\dim V=r$ allora:

1. Un insieme di $r$ vettori genera $V$ se e solo se gli $r$ vettori sono linearmente indipendenti
2. $V$ ha almeno una base, ed ogni base consiste di $r$ vettori.
3. Se $\mathbf {y_{i}} _{i=1}^{s}$ con $1\leq s\leq r$, ed i vettori $\mathbf {y} _{i}$ sono linearmente indipendenti, esiste una base di $V$ che contiene i vettori $\mathbf {y} _{i}$.

Sottospazio

Definizione 2.3.4.

Un sottoinsieme $M\subset V$ è un sottospazio dello spazio vettoriale $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in $V$.

In altri termini, è un sottospazio se: $\forall \mathbf {z} ,\mathbf {w} \in M,\alpha \in \mathbb {E}$ si ha:

1. $\mathbf {z} +\mathbf {w} \in M$
2. $\alpha \mathbf {z} \in M$

.

Insieme convesso

Un sottoinsieme $E\in V$ si dice convesso se per ogni $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in E$,con $0<t<1\!$, si ha che:

$\mathbf {z} =t\mathbf {y} +(1-t)\mathbf {x} \in E$;

Osservazioni

Chiaramente, ogni sottospazio è convesso, e se un insieme $E$ è convesso, lo è anche il suo traslato

$E+\mathbf {w} =\{\mathbf {x} +\mathbf {w} :\mathbf {x} \in E\}$.

Applicazioni lineari

Definizione 2.3.5.

Un'applicazione $A$ da uno spazio vettoriale $X$ ad uno spazio vettoriale $Y$ si dice lineare se $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,\alpha ,\beta \in \mathbb {E}$

$A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A(\mathbf {x} )+\beta A(\mathbf {y} )$.

• Le applicazioni lineari da $X$ in $X$ si dicono operatori lineari su $X$.

Definizione 2.3.6.

Un'applicazione lineare $L:X\rightarrow \mathbb {C}$ si dice funzionale lineare.

• L'insieme dei vettori in $X$ tali che $Lx=0$ si dice kernel (nocciolo, o nucleo) del funzionale $L$.

In altre parole si definisce il kernel di un funzionale L, il seguente insieme:

$Ker(L):=\{\mathbf {x} \in X:L\mathbf {x} =0\}$