Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier

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Indice

[modifica] Trasformata di Fourier

[modifica] Definizione e proprietà

Definizione 3.1.1.
Sia L1(R)l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su \R,
L^{1}(\R)=\left\{ f:\R \rightarrow \C, \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt < \infty\right\} .

Sia f \in L^{1}(\R) , definiamo la trasformata di Fourier di f come la funzione

\hat{f} (\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \lambda x} dx

definiamo poi l'antitrasformata di Fourier la funzione

\check{g}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i \lambda x} d \lambda

Sotto opportune ipotesi,

\left(\hat{f}\right)\check{} =f

Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione f coincide con la funzione stessa

[modifica] TEOREMA 3.1.2

Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni f,f_1,f_2\in L^{1}(\R)e le loro trasformate \hat{f},\hat{f_1},\hat{f_2} valgono le seguenti proprietà algebriche:

Siano a,b \in \C, k \in \R:
  1. (af_1+bf_2)^{\hat{}} = a\hat{f_1}+b\hat{f_2}
  2. (\hat{f})^{\hat{}}(x)=f(-x)
  3. (\overline{f})^{\hat{}}(\lambda)=\overline{\hat{f}(-\lambda)}
  4. (f(x-u))^{\hat{}}(\lambda)=e^{-i \lambda u}\hat{f}(\lambda)
  5. (e^{i \mu x}f(x))^{\hat{}}(\lambda)=\hat{f}(\lambda-\mu)
  6. (f(kx))^{\hat{}}(\lambda)=\frac{1}{k}\hat{f}\left(\frac{\lambda} {k}\right)

e le proprietà analitiche:

  1. \hat{f} è limitata, |\hat{f}(\lambda)|\leq \Vert f \Vert _{L^{1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx
  2. \hat{f} è uniformemente continua
  3. \lim_{|\lambda|\rightarrow\infty}\hat{f}(\lambda)=0
  4. Se f^{(m)}\in L^{1}(\R) e \lim_{|x|\rightarrow\infty}f^{(n)}(x)=0 per n \leq m , allora (f^{(m)}(x))^{\hat{}}(\lambda)=(i \lambda)^{m}\hat{f}(\lambda)
  5. Se x^{m}f(x)\in L^{1}(\R) allora
\forall j\leq m\quad x^{j} f(x) \in L^{1}(\R), e ((i x)^{j}f(x))(\lambda)^{\hat{}}=\hat{f}^{(j)}(\lambda)

[modifica] Trasformata di Fourier in L2

Gli spazi Lp
Gli spazi L^p(\R), con p\geq1 reale oppure infinito, sono le funzioni f:\R\longrightarrow\C che sono p-sommabili cioè:

\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^p dt<\infty

L2 non è un sottoinsieme di L1 , e quindi esistono funzioni in L2 per le quali

\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i \lambda x}dx

non è ben definita.

Si può però definirla senza problemi in L^{2} \cap L^{1} ; considerato che L^{2} \cap L^{1} è un sottoinsieme denso di L2, e che \forall f \in L^{2} esiste \left\{f_n\right\} \subseteq L^{2} \cap L^{1} tale che f_n \rightarrow f in norma 2, possiamo definire

\hat{f}=\lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f_n}

Dato che la norma di L2 non distingue tra funzioni che differiscono su un insieme di misura 0 (in effetti gli elementi di L2 sono classi di equivalenza di funzioni che sono uguali quasi ovunque), il problema di questa definizione è che la trasformata è ben definita come elemento dello spazio di Hilbert L2 , ma non puntualmente.

Si può dimostrare che vale anche l'uguaglianza di Parseval:

\Vert f \Vert _2=\Vert \hat{f} \Vert _2

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