Analisi complessa/Serie trigonometriche

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Sviluppo · modifica il template

Copertina Analisi complessa/Copertina
Definizione 2.6.1.
Sia
\mathbb{T}=\{z\in\C:|z|=1\}
il cerchio unitario nel piano complesso; se F:\mathbb{T} \rightarrow \C è una qualsiasi funzione definita su \mathbb{T}, la funzione definita su \R come f(t) = F(eit) è una funzione periodica di periodo 2π. Viceversa, ad ogni funzione periodica su \R di periodo 2π corrisponde una funzione F definita su \mathbb{T} .
Definizione 2.6.1
Sia C(\mathbb{T}) l'insieme di tutte le funzioni continue definite su \mathbb{T} (o equivalentemente delle funzioni su \R continue e 2π-periodiche).

Definendo il prodotto interno

<f , g>=\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)}dt

C(\mathbb{T}) è uno spazio pre-Hilbertiano, ma non è completo. In effetti, C(\mathbb{T}) è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,

\Vert f \Vert =\sup_{t \in [0,2\pi]} |f(t)| ,

che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare C(\mathbb{T}) come uno spazio con prodotto interno. Per ottenere una struttura Hilbertiana su \mathbb{T} è necessario concepire un integrale più generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile ,L^{2}\left(\mathbb{T}\right), con prodotto scalare

<f,g>=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt

si può dimostrare che questo spazio è completo.

[modifica] Polinomi trigonometrici

Definizione 2.6.2
Consideriamo gli insiemi ortonormali in C(\mathbb{T}),
\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos{kx},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin{kx} \right\}_{k=1}^\infty\qquad \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{inx}}\right\}_{n=-\infty}^\infty

definiamo quindi i polinomi trigonometrici come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente

P_{N}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}a_0 + \sum_{k=1}^{N} \left(a_{k}\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+b_{k}\frac{\sin kx} {\sqrt{\pi}}\right)\qquad P_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} \frac{e^{i nx}}{\sqrt{2\pi}}

I polinomi trigonometrici sono densi in C(\mathbb{T}), sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in L^{2}(\mathbb{T}), ne segue che L^{2}(\mathbb{T}) è separabile.

Corollario 2.6.4
Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione f \in L^{2}(\mathbb{T}) definiamo i suoi coefficienti di Fourier
\hat{f}(n)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt
allora vale l'uguaglianza di Parseval
\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}
e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi \left\{c_n\right\} sommabile in modulo quadro vi è una funzione in L^{2}(\mathbb{T}) per la quale
c_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt.

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Serie_trigonometriche"
Strumenti personali