Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

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Analisi complessa

Sommario
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Copertina Analisi complessa/Copertina

Introduzione Analisi complessa/Introduzione
Analisi complessa
Spazi di Hilbert
Trasformata di Fourier
1. Definizione e proprietà della trasformata di Fourier Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
2. Convoluzione Analisi complessa/Convoluzione
Integrale di Lebesgue
1. Integrale di Riemann Analisi complessa/Integrale di Riemann
2. Misura di Lebesgue Analisi complessa/Misura di Lebesgue
3. Integrale di Lebesgue Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Indice

1 Spazio di Misura
2 Funzione caratteristica
3 Teorema
4 Definizione dell'integrale secondo Lebesgue
5 Teorema della convergenza monotona di Lebesgue
- 5.1 Corollario
6 Teorema di Fatou
7 Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
8 Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue

[modifica] Spazio di Misura

Definizione 4.5.1.: Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in $\R^{p}$ , ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un $σ$ -anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme $X$ si dice spazio di misura se esiste un $σ$ -anello $\mathcal{M}$ di sottoinsiemi di $X$

(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi $μ$ non negativa e numerabilmente additiva, detta misura , definita su $\mathcal{M}$ .

Se $X \in \mathcal{M}$ , $X$ si dice spazio misurabile.

Sia $f$ una funzione definita su uno spazio misurabile $X$ , a valori in $\R \cup \left\{ +\infty,-\infty \right\}$ . La funzione $f$ si dice misurabile se l'insieme

$\left\{ x:f(x)>a\right\}$

è misurabile per ogni $a \in \R$ .

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\left\{ x:f(x) > a\right\}$ è misurabile per ogni $a \in \R$
$\left\{ x:f(x) \geq a\right\}$ è misurabile per ogni $a \in \R$
$\left\{ x:f(x) < a\right\}$ è misurabile per ogni $a \in \R$
$\left\{ x:f(x) \leq a\right\}$ è misurabile per ogni $a \in \R$

TEOREMA 4.3.3.

Se $f$ è misurabile, anche $| f |$ è misurabile;
Se $\left\{ f_n \right\}$ è una successione di funzioni misurabili allora

$g(x)=\sup f_n (x) \qquad h(x)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n (x)$

sono misurabili.

Se $f$ e $g$ sono misurabili, allora

$g+f\!$
$gf\!$
$\max(f,g)\!$
$\min(f,g)\!$

sono misurabili.

In particolare sono misurabili

$f^{+}=\max(f,0) \qquad f^{-}=-\min(f,0)$

[modifica] Funzione caratteristica

Definizione: Sia $s$ una funzione definita su $X$ a valori reali.

Se l'immagine di $s$ è finita, diremo che $f$ è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme $E \subseteq X$ ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E , 0 in caso contrario, cioè:

$\chi _{E}(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }x\in E \\ 0, & \mbox{se }x\notin E\end{matrix}\right.$

Se l'immagine di $s$ è costituita dai valori distinti $\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{N}$ , e $E_{i}=\left\{ x:s(x)=c_{i}\right\}$ , allora

$s=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}$

e $s$ è misurabile se e solo se tutti gli insiemi $E i$ lo sono.

[modifica] Teorema

Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia $f:X \rightarrow R$ , allora esiste una successione $\left\{ s_{n} \right\}$ di funzioni semplici tali che

$s_{n}(x) \rightarrow f(x)$

puntualmente per $n \rightarrow \infty$ .

Se $f$ è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
se è anche non negativa $\left\{ s_{n} \right\}$ si può scegliere monotona crescente.
Se $f$ è limitata, la convergenza è uniforme.

Definizione: Sia $f$ una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile $X$ con misura $μ$ , e $S$ l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su $X$ ,; $s=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}$ ,

tali che $0\leq s\leq f$ . Sia inoltre $X \supseteq E \in \mathcal{M}$ .Definiamo

$I_{E}(s) = \sum_{i=1}^{N} c_{i} \mu (E \cap E_{i})$

allora

$\int_{E} f d\mu=\sup_ {s \in S} I_{E}(S)$

$s$ si dice integrale di Lebesgue di $f$ , rispetto alla misura $μ$ , sull'insieme $E$ .

L'integrale può valere anche $+\infty$ .

Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa

$\int_{E}s d\mu=I_{E}(S)\!$ .

[modifica] Definizione dell'integrale secondo Lebesgue

La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che $f$ misurabile è integrabile secondo Lebesgue su $E$ , rispetto alla misura $μ$ , e scriveremo $f \in L(\mu)$ su $E$ , se

$\int_{E}f^{+}d\mu <\infty \qquad \int_{E}f^{-}d\mu< \infty$

e definiamo

$\int_{E}f d\mu=\int_{E}f^{+}d\mu-\int_{E}f^{-}d\mu\!$ .

L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:

Se $f$ è misurabile e limitata su $E$ , e se $\mu(E)<\infty$ , allora $f\in L(\mu)$ su $E$ .
Se $a \leq f \leq b$ su $E$ , e se $\mu(E)<\infty$ , allora $a \mu(E) \leq \int_{E}f d\mu \leq b\mu(E)$
Se $f,g \in L(\mu)$ su $E$ , e se $f \leq g$ in $E$ , allora $\int_{E}f d\mu \leq \int_{E}g d\mu$
Se $f \in L(\mu)$ su $E$ , allora $cf\in L(\mu)$ su $E$ per ogni costante finita $c$ , e $\int_{E}cf d\mu=c\int_{E}f d\mu\!$
Se $μ(E) = 0$ e $f$ è misurabile, allora $\int_{E}f d\mu=0\!$
Se $f\in L(\mu)$ su $E$ , $A \subseteq E$ è misurabile, allora $f\in L(\mu)$ su $A$ .

Teorema 4.3.8.

Se

f

è misurabile e non negativa su

X

, oppure se $f\in L(\mu)$ su

X

, e definiamo per $A\in\mathcal{M}$

$\phi(A)=\int_{A}f d\mu\!$

φ

è numerabilmente additiva su $\mathcal{M}$ .

Corollario 4.3.9.

Se $A,B \in \mathcal{M}$ e $\mu(A\setminus B)=0\!$ , e

f

è misurabile e non negativa, oppure $f\in L(\mu)$ su

X

, allora

$\int_{A}f d\mu=\int_{B}f d\mu\!$

In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.

Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.

Teorema 4.3.10.: Se $f \in L(\mu)$ su $E$ , allora anche $|f| \in L(\mu)$ su E;

se $f$ è misurabile su $E$ , e $|f| \leq g$ e $g \in L(\mu)$ su $E$ , allora $f \in L(\mu)$ su $E$ .

[modifica] Teorema della convergenza monotona di Lebesgue

Sia $E \in \mathcal{M}$ , sia $\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che

$0\leq f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots\leq f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\leq\cdots\quad \forall x\in E$

Se definiamo $f$ come $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ allora

$\lim_{n\to\infty} \int _E{f_n}d\mu=\int _E fd\mu$

[modifica] Corollario

Siano su E, allora:
- $f=f_1+f_2\in L(\mu)$ su E
- $\int _E f d\mu= \int _E f_1 d\mu+ \int _E f_2 d\mu\!$
Se $\left\{f_n\right\}$ è una successione di funzioni misurabili non negative,

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n (x) \qquad \forall x\in E$

allora

$\int_{E}f d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E}f_n d\mu$

[modifica] Teorema di Fatou

Sia $E\in\mathcal{M}$ , $\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili non negative e $f(x)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)$ allora

$\int_{E}f d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_{E}f_n d\mu$

[modifica] Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Sia $E\in\mathcal{M}$ , $\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che $f_n (x) \rightarrow f(x)$ ; se esiste una funzione $g \in L(\mu)$ su $E$ tale che

$|f_n (x)| \leq g(x)\quad\forall n,x \in E$ ,

allora

$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{E}f_n d\mu=\int_{E}f d\mu$ .

[modifica] Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue

L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni, e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni di passaggio al limite. Dato che $R 1$ e' uno spazio misurabile con il $σ$ -anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione , diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di $R 1$ .

Teorema 4.3.15.: Se $f\in\mathcal{R}([a,b])$ , allora $f\in L(m)$ su $[a, b]$ ,e

$\int_{a}^{b}fdx=\int_{[a,b]}f dm$

Se $f$ è limitata su $[a, b]$ , è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in $[a, b]$ .

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