Analisi complessa/Operatori lineari in H

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Analisi complessa

Sommario
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Copertina Analisi complessa/Copertina

Indice

1 Operatore lineare
2 Norme di operatori
3 Operatori aggiunti
4 Operatori compatti
5 Spettro di operatori
6 Teorema della mappa aperta

[modifica] Operatore lineare

Definizione 2.7.1: Definiamo $\mathcal{L}(H)$ l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert $H$ in se stesso; $\mathcal{L}(H)=\{ L:H\rightarrow H ; x,y \in H, \quad\alpha,\beta \in C \Rightarrow L(\alpha x + \beta y)=\alpha Lx + \beta Ly\}$ .

Un operatore lineare si dice

continuo

se $\forall x_0 \in H ,\forall\varepsilon>0: \exists\delta>0:\Vert x-x_0 \Vert <\delta\Rightarrow \Vert Lx-Lx_0 \Vert < \varepsilon ;$
limitato se

$\exists k>0:\forall x \in H \Vert Lx \Vert < k \Vert x \Vert$ .

Per un operatore $L \in \mathcal{L}(H)$ le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$L$ è continuo in $0$ ;
$L$ è continuo in tutto $H$ ;
$L$ è limitato $\forall {x_n} :x_n \rightarrow \bar{x} \Rightarrow Lx_n\rightarrow L \bar{x}$

[modifica] Norme di operatori

Definizione

Sia $\mathcal{B}(H)$ l'insieme degli operatori lineari limitati su

H

; definiamo

$\Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \left\Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\right\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert$

$\mathcal{B}(H)$ è uno spazio vettoriale su $\C$ , ponendo

$(L_1+L_2)x=L_1x+L_2x\!$
$(\lambda L)x=\lambda Lx\!$ .

Teorema

$\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}$ è una norma, e $\mathcal{B}(H)$ è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Teorema

Siano:

$H$ uno spazio di Hilbert,
$\left\{x_n\right\}$ una successione in $H$ con $\Vert x_n \Vert \leq K<\infty$ ,
$\left\{y_n\right\}$ un'altra successione in $H$ con $\Vert y_n \Vert \leq K<\infty$
$\left\{\alpha_n\right\}$ una successione in $\C$ con $\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty$

Allora l'applicazione

$x \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n x_n y_n$

è lineare e continua.

Definizione2.7.6.

Consideriamo una successione di operatori

$\left\{L_n\right\} \subseteq \mathcal{L}(H)$

Diciamo che $L_n \rightarrow L$

In norma se

$\forall \varepsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \varepsilon$ ,

cioè se

$\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon$ .

Fortemente se

$\forall x \in H\quad L_n x \rightarrow Lx$ ,

cioè se

$\forall \varepsilon > 0, x \in H\quad\exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\varepsilon$

Debolmente se

$\forall x,y \in H\;<L_{n}x,y>\longrightarrow <Lx,y>$ .

Teorema: La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.

Definizione 2.7.8.

Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore $L \in \mathcal{L}(H)$ l'insieme degli $x \in H$ tali che

L x = 0

. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.

Definiamo rango di un operatore l'insieme degli $y \in H$ tali che

L x = y

per qualche $x \in H$ :

$\ker L = \left\{ x \in H:L x = 0\right\}$

$r(L)=\left\{ y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}$

[modifica] Operatori aggiunti

Definizione 2.7.9.

Sia $L \in \mathcal{L}(H)$ ; definiamo l' operatore aggiunto $L^{\star}$ come l'operatore che $\forall x,y\in H$ soddisfa

$<Lx,y>= <x, L^{\star} y >$ .

TEOREMA 2.7.10.

Se $L\in\mathcal{B}(H)$ anche $L^{\star}\in\mathcal{B}(H)$ ; inoltre

$\Vert L^{\star} \Vert _{\mathcal{B}}=\Vert L\Vert _{\mathcal{B}}$

e

$(L^{\star})^{\star}=L$ .

Nel caso finito-dimensionale, per $\C^{N}$ , si puo' mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, $A = (a i j)$ , con $a_{ij} \in \C$ , in modo tale che

$L \mathbf{x} =A\mathbf{x}=\sum_{ij} a_{ij}x_{j} \hat{e}_i$ ,

dove $\hat{e}_i$ sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti $x i$ dei vettori dello spazio.

Inoltre, con il prodotto scalare definito come

$(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i}x_i\overline{y_i}$

è facile mostrare che $L^{\star}$ è rappresentato dalla matrice aggiunta

$A^{\star}=(\overline{a_{ji}})$

[modifica] Operatori compatti

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

Definizione 2.7.11.

Sia $A \subseteq X$ , dove

X

è uno spazio metrico.

A

si dice compatto se per ogni successione

$\left\{x_n\right\} \subseteq A$

esiste una sottosuccessione che converge ad un punto $x \in A$ .

Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura $\bar{A}$ di un insieme

A

è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente $\bar{A}=A$ se

A

è chiuso.

Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.

TEOREMA 2.7.12: Sia $A \subseteq J$ dove $J$ è uno spazio normato; allora se

$A$ è compatto, è anche chiuso e limitato ( $\exists K>0:\Vert x \Vert _J<K \forall x\in A$ ).

Se $J=\R^N,\C^N$ (finito-dimensionale) $A\subseteq J$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Teorema di Bolzano-Weierstrass: In $\C^{N}$ ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia

H

spazio di Hilbert, con $\dim H=\infty$ ,allora l'insieme $S=\left\{ x:\Vert x \Vert =1\right\}$ è chiuso e limitato ma non compatto.

Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

Definizione 2.7.16: Un operatore $L \in \mathcal{L}(H)$ si dice compatto se per $\forall C\subseteq H$ limitato, $L (C)$ è precompatto; in altre parole, se; $\forall x_n \in H ,\Vert x_n \Vert < K\quad\exists \left\{ x_{n_k} \right\} : \left\{ L x_{n_k} \right\}$ converge.

TEOREMA 2.7.17.: Se $\dim r(L) <\infty$ , $L$ è compatto.; Se $H$ è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori $A n$ con $\dim r(A_n) <\infty$ .

[modifica] Spettro di operatori

Definizione 2.7.18.

Definiamo il prodotto di due operatori

$L_1 , L_2 \in \mathcal{B}(H)$

come

$(L_1 L_2) x = L_1(L_2 x) \forall x \in H$ .

È facile notare che

$\Vert L_1 L_2 \Vert \leq \Vert L_1 \Vert \Vert L_2 \Vert$ .

Questo fatto, unito alla completezza di $\mathcal{B}(H)$ ed alla presenza di un funzionale lineare continuo $E:x \rightarrow x$ tale che

$LE=EL=L : \forall L\in\mathcal{B}(H)$

e

$\Vert E \Vert =1$

fa di $\mathcal{B}(H)$ un'algebra di Banach.

Definiamo l' operatore inversodi un operatore $L:H \rightarrow H$ l'operatore $L - 1$ tale che

$\forall y \in H L^{-1}y=x\iff Lx=y$

L'operatore inverso esiste se e solo se $L$ è biunivoco: se $L$ non fosse suriettivo, $L - 1$ non sarebbe definito per qualche $y \in H$ , e se non fosse iniettivo, $L x 1 = L x 2 = y$ e quindi $L - 1 y$ non sarebbe univocamente definito;

L - 1 L = L L - 1 = E

L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

[modifica] Teorema della mappa aperta

Siano $G$ e $W$ due spazi di Banach su $\C$ , e $L:G\rightarrow W$ lineare. Se

L (G) = W

(se

L

è suriettiva)

allora sia

$S_G\subseteq G=\left\{ x \in G: \Vert x \Vert \leq 1\right\}$

la sfera unitaria in $G$ , allora

$\delta S_W\subseteq L(S_G)$

dove $δ S W$ è la sfera di raggio $δ > 0$ in $W$ .

Corollario.

Se $L\in\mathcal{B}(H)$ ed è biunivoca, allora

$\Vert Lx \Vert \geq \delta \Vert x \Vert$ ;

pertanto

$\Vert x \Vert = \Vert LL^{-1}x \Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert$

quindi

$\Vert L^{-1}x \Vert \leq 1 \delta \Vert x \Vert$

e dunque

$L^{-1} \in \mathcal{B}(H)$ .

Definizione di spettro.

Definiamo lo spettro

σ(L)

di un operatore $L\in\mathcal{B}(H)$ come l'insieme dei $\lambda \in \C$ tali che

$L - \lambda E\!$

non ammette inverso continuo.

Se esiste un vettore $v\neq 0$ tale che per un $\bar {\lambda} \in \sigma (L)$ vale che $Lv- \bar {\lambda} v=0$ (in altri termini se $\ker(L-\bar {\lambda} E)\neq 0$ ) si dice che $\bar{\lambda}$ è un autovalore di $L$ . L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto $σ D (L)$ ;chiaramente $\sigma_D \subseteq \sigma$ .

TEOREMA 2.7.23: Per ogni operatore $L\in\mathcal{B}(H)$ , $σ(L)$ è chiuso e limitato.

TEOREMA 2.7.24

Sia $T \in \mathcal{L} (H)$ operatore compatto. Allora è vero che:

$\forall\lambda\neq 0 \dim \ker(T-\lambda I)<\infty$
Se $\dim H = \infty$ allora $0 \in \sigma(T)$
$\forall S \in \mathcal{B}(H)$
sia $S T$ che $T S$ sono compatti.

TEOREMA 2.7.25.: Sia $T \in \mathcal{L}(H)$ operatore compatto. Per ogni $n > 0$ esiste solo un numero finito di elementi di $σ(T)$ che siano maggiori di $0$ ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo $0$ .Inoltre $σ(T) = σ D (T)$ .

Operatori autoaggiunti.: Un operatore si dice autoaggiunto se $L^{\star}=L$ .Se $L \in \mathcal{B}(H)$ è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

Teorema: Se $T \in \mathcal{B}(H)$ è compatto ed autoaggiunto, e $H$ è separabile, allora gli autovettori di $T$ costituiscono una base Hilbertiana per $H$ .

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