Analisi complessa/Misura di Lebesgue

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Analisi complessa

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Copertina Analisi complessa/Copertina

Introduzione Analisi complessa/Introduzione
Analisi complessa
Spazi di Hilbert
Trasformata di Fourier
1. Definizione e proprietà della trasformata di Fourier Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
2. Convoluzione Analisi complessa/Convoluzione
Integrale di Lebesgue
1. Integrale di Riemann Analisi complessa/Integrale di Riemann
2. Misura di Lebesgue Analisi complessa/Misura di Lebesgue
3. Integrale di Lebesgue Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.

Indichiamo con il simbolo $\emptyset$ l'insieme vuoto.

Se $A$ e $B$ sono due insiemi, definiamo:

l' unione dei due insiemi,

$A \cup B=\{ x:x \in A \vee x \in B\}$
l' intersezione,

$A \cap B=\{ x:x \in A \wedge x \in B\}$
la differenza,

$A\setminus B=\{ x:x\in A\wedge x\notin B\}$

Definizione 4.2.1.

Due insiemi si dicono disgiunti se

$A \cap B=\emptyset$ .

Una famiglia di insiemi $R$ si dice anello se presi due insiemi $A,B \in R$ , implica che:

$A \cup B \in R$ (chiusura rispetto all'unione)
$A\setminus B \in R$ (chiusura rispetto alla differenza).

La proprietà 2. ne implica una terza:

$A \cap B \in R$ , infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:

$A \cap B=A\setminus(A\setminus B)$ .

$R$ si chiama $σ$ -anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento di $R$ , cioè se $A_n \in R$ implica

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in R$ (chiusura rispetto all'unione numerabile)

Se $R$ è un $σ$ -anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento dell'anello,

$\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_1-A_n)\in R$ (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)

Definizione

Una funzione

$\phi : R \rightarrow \R \cup\{ +\infty,-\infty\}$

si dice funzione di insiemi

additiva se

$A,B \in R\quad A\cap B= \emptyset \Rightarrow \phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B)$
numerabilmente additiva se:

$A_i \in R; i\neq j \Rightarrow A_i \cap A_j =\emptyset\quad\Rightarrow\quad\phi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)$

Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia $+\infty$ che $-\infty$ , e quelle per cui $\forall A\in R: \phi(A)= \pm \infty$ .

Se una funzione di insiemi $φ$ soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti proprietà:

La serie $\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)$ converge assolutamente;
$\phi (\emptyset)=0$ ;
$\phi\left(\bigcup_{n=1}^{N}A_i\right)=\sum_{n=1}^{N}\phi(A_n)$ se $i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j=\emptyset$
Se $\forall A \in R: \phi(A)\ge0$ e $A \subseteq B$ allora $\phi(A)\leq \phi(B)$ .
Se $A\subseteq B$ e $|\phi(A)|<\infty$ , $\phi(B\setminus A)=\phi(B)-\phi(A)$
Se $A_n \in R$ e $A_n \subseteq A_{n+1}$ e $A_n \subseteq A$ con $A \in R$

$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\phi(A_n)= \phi(A)$

[modifica] Costruzione della misura di Lebesgue

Definizione 4.2.3.

Definiamo un intervallo in $\R^{p}$ l'insieme dei punti

$\mathbf{x} \in \R^{p}=(x_1 , x_2 , \ldots,x_p )$

tali che

$a_i < x_i < b_i \quad i=1, \ldots , p$

sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni

<

segni sostituiti da $\leq$ ; non si esclude il caso in cui per qualche

j

si abbia

a j = b j

, e l'insieme vuoto è un intervallo.

Definizione.: Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.

Definiamo la funzione di insiemi

$m(I)=\prod_{i=1}^{p}(b_i-a_i)$

e se $A=\bigcup_{n=1}^{N} I_n$ è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo

$m(A)=\sum_{n=1}^{N}m(I_n)$ .

[modifica] Teorema

Indichiamo con $\mathcal{E}$ la famiglia dei sottoinsiemi elementari di $\R$ .

$\mathcal{E}$ è un anello, ma non un $σ$ -anello
$\forall A \in \mathcal{E}$ , è possibile scrivere $A$ come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
$m (A)$ definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono $A$
$m$ e' additiva su $\mathcal{E}$ .

Definizione 4.2.5

Una funzione di insiemi additiva e non negativa

ψ

definita su $\mathcal{E}$ si dice regolare se per ogni $A \in \mathcal{E}$ e $\varepsilon > 0$ esistono $F,G \in \mathcal{E}$ , con

F

chiuso e

G

aperto, tali che

$F \subseteq A\subseteq G$

e

$\psi (G) - \varepsilon \leq \psi (A) \leq \psi (F) + \varepsilon.$

Ad esempio,

m

è regolare.

Sia ora $μ$ additiva, non negativa, regolare e finita su $\mathcal{E}$ . Ricopriamo un insieme $B \subseteq \R^{p}$ con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari $A n$ ,

$B \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ .

Definiamo la misura esterna di $B$ corrispondente a $μ$

$\mu^{\star}(B)=\inf\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$

dove l' $\inf$ è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di $B$ .

Evidentemente $\mu^{\star}(B)\geq 0$ , e se $B_1 \subseteq B_2$ , allora $\mu^{\star}(B_1) \leq \mu^{\star}(B_2)$ .

TEOREMA 4.2.6.

Per ogni $A \in \mathcal{E}$ ,

$\mu^{\star}(A)=\mu(A)$

e se

$B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$ allora $\mu^{\star}(B)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{\star}(B)$

Definizione

Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi

A

e

B

come

$S(A,B)=(A\setminus{B}) \cup (B\setminus{A})$

e, se $A,B \subseteq \R^{p}$

$d(A,B)=\mu^{\star}(S(A,B))$ .

La funzione $d (A, B)$ è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:

$d(A,B)=d(B,A)\!$
$d(A,A)=0\!$
$d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)\!$

Non è vero tuttavia che $d(A,B)=0\Rightarrow A=B$ . A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di $\R^{p}$ rispetto alla relazione di equivalenza $d(A,B)=0\!$ .

A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno spazio metrico. Diremo che $A_n \rightarrow A$ (la sucessione di insiemi $A n$ converge all'insieme A) se $\lim_{n\rightarrow\infty}d(A,A_n)=0$ .

Se esiste una successione $\left\{A_n\right\} \subseteq\mathcal{E}$ di insiemi elementari tale che $A_n \rightarrow A$ diremo che $A$ è finitamente $μ$ -misurabile, e scriveremo

$A \in \mathcal{M}_F(\mu)$

Se $A$ è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente $μ$ -misurabili, diremo che è $μ$ -misurabile, e scriveremo $A \in \mathcal{M}(\mu)$ .

Teorema: $\mathcal{M}(\mu)$ è un $σ$ -anello, e $\mu^{\star}$ è numerabilmente additiva su $\mathcal{M}(\mu)$ .; In altri termini, $\mathcal{M}_F (\mu)$ è il completamento di $\mathcal{E}$ , e $\mathcal{M}(\mu)$ estende $\mathcal{M}_F (\mu)$ rendendolo un $σ$ -anello.

In maniera analoga $\mu^{\star}$ estende la funzione $μ$ (definita solo su $\mathcal{E}$ ) dandole un senso anche in $\mathcal{M}(\mu)$ , nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se $μ = m$ si dice misura di Lebesgue.

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[modifica] Costruzione della misura di Lebesgue

[modifica] Teorema

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