Analisi complessa/Integrale di Riemann

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Analisi complessa

Sommario
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Copertina Analisi complessa/Copertina

Introduzione Analisi complessa/Introduzione
Analisi complessa
Spazi di Hilbert
Trasformata di Fourier
1. Definizione e proprietà della trasformata di Fourier Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier
2. Convoluzione Analisi complessa/Convoluzione
Integrale di Lebesgue
1. Integrale di Riemann Analisi complessa/Integrale di Riemann
2. Misura di Lebesgue Analisi complessa/Misura di Lebesgue
3. Integrale di Lebesgue Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di $\R$ .

Definzione 4.1.1.

Sia dato un intervallo

[a, b]

, con $a \leq b \in \R$ . Si definisce partizione di

[a, b]

un insieme finito di punti,

P

, tali che

$a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b$

Scriveremo inoltre $\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!$ .

Se ora $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a, b]$ , e $P$ una partizione di $[a, b]$ poniamo

$M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad$
$U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i$
$\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)$

dove $\inf, \sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a, b]$ , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ( $f \in \mathcal{R}([a,b])$ ), e definiamo l'integrale di Riemann di $f$ su $[a, b]$ il valore comune dei due integrali,

$\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx$

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono $m,M \in \R$ tali che $m \leq f(x) \leq M$ per ogni $x \in [a,b]$ , $m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a)$ gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.