Analisi complessa/Serie di potenze

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Indice

[modifica] Successioni nel campo complesso

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di C.

In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in C e le successioni in R.

[modifica] Successione e Serie

Una successione in \C è una funzione \mathbb{N}\rightarrow \C, che indichiamo come un insieme di valori con indice, zn.

  • Diciamo che una successione converge a z , o che \lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z se
\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N:n>N \Rightarrow |z_{n}-z|<\varepsilon
  • Una serie è una somma infinita
\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in\N

[modifica] Teorema 1.5.2.

Sia zn = xn + iyn una successione in \C, e z = x + iy allora

\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z \iff \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x e \lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y

In modo analogo, se S = x + iy, la serie

\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}=S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=x e \sum_{n=1}^{\infty}y_{n}=y

[modifica] Teorema sulla convergenza assoluta

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se

\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|

converge, allora converge anche

\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}.

[modifica] Serie di potenze

[modifica] Definizione 1.5.4

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro z , della forma

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}

[modifica] Teorema

Se una serie di potenze

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}

converge per z =z_1 \neq z_0 allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto

|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|\!

Definendo il raggio di convergenza R come il

\sup|z-z_0|

tra tutti gli z per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio R centrato in z0, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.

Se R=\infty la serie converge su C, se è zero converge soltanto in z0.

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,

S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R)
Teorema 1.5.6.
Una serie di potenze con raggio di convergenza R converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio R' < R centrato in z0 , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
Teorema 1.5.7.
Sia S(z) una serie di potenze definita come sopra, e C un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia g(z) una funzione continua sul percorso C. Allora
\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz

[modifica] Teorema 1.5.8.

S(z) è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè

S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}

Inoltre

a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}

[modifica] Teorema 1.5.9 (di Taylor)

Sia f una funzione analitica in un cerchio aperto | z − z0 | < R. Allora la serie di potenze definita come

S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}

converge a f(z) per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo è unico, cioè

S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}

converge a f(z) solo se i suoi coefficienti sono

a_{n}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \!

[modifica] Teorema 1.5.10 (di Laurent)

Sia f una funzione analitica in una corona circolare

R_1<|z-z_0|<R_2\!

e sia C un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui f è analitica.

Allora, in ogni punto del dominio,

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{(z-z_0)^{n}}

e i coefficienti dello sviluppo valgono

a_{n}=\frac{1}{2\pi i } \int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\qquad b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}}dz

Tale sviluppo è unico.

[modifica] Prodotto di serie

Definizione
Date due serie \sum a_{n} e \sum b_{n} è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
\sum_{n} c_{n} \,
con c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.

[modifica] Teorema 1.5.11

Se f e g sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi

|z-z_f|<R_f\!

e

|z-z_g|<R_g\!

rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.

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