Analisi complessa/Numeri complessi

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Analisi complessa

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Copertina Analisi complessa/Copertina

Definizione 1.1.1.

Definiamo l'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in\R^{2}$ con somma e prodotto definiti come

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \,$

$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,$

È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come

$(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,$

dove i = (0,1).

L'analogia tra $\mathbb{C}$ ed $\mathbb{R}^{2}$ (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero

$z \in \mathbb{C}=x+iy=(x,y)$

definiamo:

il coniugato

$\bar{z}=x-iy$

la parte reale

$Re\, z =x=(z+\bar{z})/2$

la parte immaginaria

$Im\, z =y=(z-\bar{z})/2$

il modulo

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}$

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere $z \in \mathbb{C}$ come

$z =\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \,$

Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. $ρ$ è il modulo di $z$ e $θ$ l'argomento $\theta=\arg z$ , che è definito a meno di multipli interi di $2π$ . Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in $( - π,π)$ , $\arg z$ .

Definendo poi tramite la formula di Eulero

$e^ {i \theta }= \cos \theta + i \sin \theta\!$

(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo

$z =\rho e^{i\theta}\!$

[modifica] Proprietà

Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ , con $z_1=x_1+iy_1=\rho_1 e^{i\theta_1}$ e $z_2=x_2+iy_2=\rho_2 e^{i\theta_1}$ . Avremo:

$\rho_1=|z_1| \,$
$|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|$
$z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
$z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$
$z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{i n\theta_1} \qquad n \in \Z$
$\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{i(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$