Analisi complessa/Spazi metrici

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Indice

[modifica] Spazi metrici

Definizione 2.2.1
Un insieme X\ne\emptyset, assieme ad una funzione distanza
d: X^{2} \rightarrow \mathbb{R}
è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni x, y, z \in X sono verificate le seguenti proprietà:
  1. d(x,y) \geq 0 \!
  2. d(x,y)=d(y,x) \! (simmetria)
  3. d(x,y)=0 \iff x=y\!
  4. d(x,y) \leq d(x,z) + d(y,z)\! (disuguaglianza triangolare)

La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

Definizione
Si dice intorno di un punto x\in X l'insieme N_{r}(x)=\{ y \in X | d(x,y)<r\}.

Osservate che, dato un punto x_0\in X, l'intorno di raggio r centrato in x0 è l'insieme dei punti che distano r dal punto x0.


TEOREMA 2.2.2.
Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che
d(x,y)-d(x,z)\leq d(y,z)

[modifica] Successioni

Definizione 2.2.3.
Una funzione a:\mathbb{N} \rightarrow X si dice successione in X, ed i suoi elementi si indicano come an. È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

[modifica] Successione convergente

  • Si dice che una successione an converge ad un valore \alpha \in X se
\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\N:n>N\Rightarrow d(a_{n},\alpha)<\varepsilon,
cioè se α è il limite della successione rispetto alla distanza d.

[modifica] Successione di Cauchy

  • Una successione la quale
\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in \N:n,m>N\Rightarrow d(a_n,a_m)<\varepsilon

si dice successione di Cauchy;

Definizione
Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

[modifica] Insieme denso

Un insieme Y si dice denso nello spazio metrico X se Y\subseteq X e \forall x \in X,\forall N_{r}(x): N_{r}(x)\cap Y \neq \emptyset.

Teorema
Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico (X,d) esiste sempre uno spazio metrico completo (\tilde{X},\tilde{d}), ed una mappa
\Phi : X \rightarrow \tilde {X}

con le seguenti proprietà:

  • \Phi\! è iniettiva;
  • d(x,y)=\tilde{d}(\Phi(x),\Phi(yz))\!;
  • \Phi(X)\! è denso in \tilde{X}
Definizione 2.2.5
Una funzione
f: X \rightarrow X
definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni x,y \in X è verificata la disuguaglianza
d(f(x),f(y))\leq k d(x,y)
con 0<k<1\!.

[modifica] Teorema del punto fisso

Punto fisso
Siano f:A\longrightarrow A una funzione, A insieme qualsiasi. Dicesi punto fisso per la funzione f un valore x\in A tale che
f(\tilde{x})=\tilde{x}
Teorema 2.2.6 o del punto fisso
Se (X,d) è uno spazio metrico completo e se f è una contrazione su X, allora
\exists!\bar{x}\in X:f(\bar{x})=\bar{x}

[modifica] Serie di funzioni

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,

f: ( X , d ) \rightarrow ( Y , h ) \,
Definizione 2.2.7.
Diremo che la successione di funzioni fn converge puntualmente ad f se
\forall x\in X,\varepsilon>0\quad\exists N(x,\varepsilon):n>N\Rightarrow h(f_n(x),f(x))<\varepsilon .
Diremo che una successione converge uniformemente se
\forall \varepsilon > 0\quad\exists N( \varepsilon) : n > N \Rightarrow h (f_n (x),f(x)) < \varepsilon per ogni x \in X.

L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un N valido per tutti gli x.

Teorema 2.2.8
Nel caso di funzioni da uno spazio metrico X a \mathbb{C}, una serie di funzioni fn converge uniformemente a f se e solo se
\forall \varepsilon > 0\quad\exists N\in\mathbb{N}:n>N \Rightarrow \sup_{x\in X} |f_{n}(x)-f(x)| < \varepsilon.

Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

Teorema 2.2.9
Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.

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