Analisi complessa/Derivate

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Indice 1 Definizione 2 Teoremi sulla derivazione 2.1 Teorema 1.2.9 2.2 Teorema 1.2.10 3 Teorema 1.2.11 4 Funzioni analitiche 4.1 Teorema 1.2.13 5 Funzioni armoniche 5.1 Teorema 1.2.15

[modifica] Definizione

La definizione di derivata per una funzione a variabile complessa ricorda formalmente quella per le funzioni reali.

Se è definita in un intorno di z₀, la derivata è definita come:

se il limite esiste. In realtà la derivabilità è una condizione piuttosto restrittiva: anche funzioni apparentemente "innocue", come non sono derivabili.

[modifica] Teoremi sulla derivazione

[modifica] Teorema 1.2.9

Se una funzione è derivabile in un punto è anche continua nello stesso punto.

[modifica] Teorema 1.2.10

Siano dove:

• A è un insieme aperto
• 
• derivabili in

allora

1. con c costante
2. con c costante
3. è derivabile e inoltre
4. è derivabile e
5. è derivabile se e
6. 
7. se , f derivabile in e g è derivabile in f(z₀) allora:

[modifica] Teorema 1.2.11

Sia , condizione necessaria perché f sia differenziabile in z₀ è che valgano le condizioni di Cauchy-Riemann:

Se inoltre u e v hanno derivate in un intorno di z₀ e tali derivate sono continue in z₀, allora le condizioni sopra citate sono anche sufficienti, ed esiste la derivata f'(z₀) = u_x + iv_x

[modifica] Funzioni analitiche

Definizione

Una funzione è analitica o olomorfa in un insieme aperto se ha derivata in ogni punto di tale insieme. Diremo che è analitica in un punto z₀, e che è intera se è analitica su tutto . Se f non è derivabile in z₀, ma è derivabile in qualche punto di ogni intorno di z₀ diremo che z₀ è una singolarità. Se esiste un intorno di z₀ tale che f sia derivabile in tutto l'intorno tranne che in z₀ diremo che z₀ è una singolarità isolata.

• Si definisce dominio un insieme D aperto connesso, che possa cioè essere espresso come unione di due aperti disgiunti non vuoti. Si può dimostrare che esiste sempre una poligonale composta da un numero finito di segmenti che unisce qualsiasi coppia di punti contenuti in un dominio.

[modifica] Teorema 1.2.13

Se una funzione ha derivata nulla in un dominio D, allora f(z) = c costante in tutto il suo dominio.

[modifica] Funzioni armoniche

Definzione

• Una funzione reale in due variabili u(x,y) si dice armonica se soddisfa l'equazione differenziale:

.

• Una funzione v si dice armonica coniugata di una funzione armonica u se le due funzioni soddisfano le condizioni di Caychy Riemann.

[modifica] Teorema 1.2.15

è analitica in un dominio D se e solo se v è armonica coniugata di u