Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert

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Indice

[modifica] Prodotto scalare

Definizione
Sia X uno spazio lineare sul campo \mathbb{K}(=\R o \mathbb{C}), si definisce prodotto scalare, l'applicazione
<\cdot,\cdot>: X\times X\longrightarrow \mathbb{K}
che possiede le seguenti proprietà:
  1. <x+y,z>=<x,z>+<y,z>\!
  2. <\alpha x,y>=\alpha <x,y>\!
  3. <x,y>=\overline{<y,x>}
  4. <x,x>\geq 0\quad \forall x\in X
    • <x,x>=0\iff x=0

[modifica] Osservazioni

Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come: <x,y>=<y,x>\! (simmetria).

Il prodotto scalare induce una norma

||\cdot||:X\longrightarrow\R^+

definita come

||x||:=\sqrt{<x,x>}

La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)

d_{||\cdot||} : X\times X \longrightarrow \R^+

come segue:

d_{||\cdot||} (x,y)=||x-y|| = \sqrt{<x-y,x-y>}
Teorema
Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:
  1. <0,y>=0\quad\forall y\in X
  2. <x,\alpha y>=\bar{\alpha}<x,y>

Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma ||x||:=\sqrt{<x,x>}:

  1. |<x,y>|\leq||x|| ||y|| (Disuguaglianza di Schwartz)
  2. ||x+y||\leq ||x||+||y|| (disuguaglianza triangolare)
  3. ||\alpha x||=|\alpha|||x||\!

[modifica] Spazio di Hilbert

Definizione
Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
  • su cui è definito un prodotto scalare
  • completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.

Esempi: Sono spazi di Hilbert \R^n, \mathbb{C}^n. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.

[modifica] Identità del parallelogramma

Teorema
Siano x,y\in X, dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)\! (identità del parallelogramma)
Dimostrazione
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:
||x+y||^2 = <x+y,x+y> = <x,x+y>+<y,x+y> = \overline{<x+y,x>}+\overline{<x+y,y>}
mentre
||x-y||^2 = <x-y,x-y> = <x,x-y>-<y,x-y> = \overline{<x-y,x>}+\overline{<x-y,y>}
pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
||x+y||^2+||x-y||^2=2<x,x>+2<y,y> = 2||x||^2+2||y||^2 = 2(||x||^2+||y||^2)\!
Che è quello che si voleva dimostrare.

Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:

La norma ||\cdot|| soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:

<x,y>=\frac{1}{4}\left[||x+y||^2-||x-y||^2+i\left(||x+iy||^2-||x-iy||^2\right)\right]

ha le proprietà del prodotto scalare.

[modifica] Teoremi

Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un y\in X fissato ad ogni x\in X il numero complesso (x,y)

Teorema
Per ogni y\in X, l'applicazione:
  • x\longrightarrow <x,y> è lineare e continua.

Inoltre anche x\longrightarrow ||x|| è continua.

Definizione
Se < x,y > = 0 diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che x\bot y, la relazione di ortogonalità è simmetrica.
Definiamo
x^{\bot{}}:=\left\{y\in X: y\bot x \right\}

Se M\subset X è un sottospazio di X\! definiamo

M^{\bot{}}=\left\{y\in X: y\bot x\quad\forall x\in M\right\}

Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:

Se \lim_{n\to\infty} x_n=\bar{x} e x_n\in M implica che \bar{x}\in M allora M si dice chiuso.
Teorema
Se M è un sottospazio di Hilbert H allora M^{\bot{}} è un sottospazio chiuso di H.

Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:

Teorema 2.5.8
Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima, \bar{y}\in E tale che ||\bar{y}||=\inf_{x\in E}||x||
Teorema 2.5.9
Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
  • P:X\longrightarrow M
  • Q:X\longrightarrow M^{\bot{}}
Con le seguenti proprietà:
  1. \forall x \in X\quad x=Px+Qx
  2. \forall x\in M\quad x=Px, Qx=0
    \forall x\in M^{\bot{}}\quad x=Qx, \quad Px=0
  3. \forall x\in X\quad ||x-Px||=\inf_{y\in M}||x-y||
  4. ||x||^2=||Px||^2+||Qx||^2\!

Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi M \mbox{ e } M^{\bot{}}.

Corollario 2.5.10
Se M\neq X allora M^{\bot{}} non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.

Abbiamo mostrato che <x,y>\! è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.

Teorema 2.5.11
Se L è un funzionale lineare su X, e \ker{L}\neq X, allora:
\dim(\ker(L))^{\bot{}}=1.
Teorema 2.5.12
Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo y\in X tale che:
Lx=<x,y>,\quad\forall x\in X

[modifica] Insieme ortonormale

Delta di Kronecker
Il delta di Kronecker è una funzione matematica di due variabili discrete,α e β definita come:
\delta_{\alpha,\beta} := \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se } \alpha=\beta \\ 0 & \mbox{se } \alpha \ne \beta \end{matrix}\right.
Definizione
Un insieme uα di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove \alpha \in A è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se
\forall \alpha, \beta\in A\quad <u_{\alpha},u_{\beta}>=\delta_{\alpha,\beta}
Teorema 2.5.14.
Se U=\left\{u_{\alpha} \right\}_{\alpha\in A} è un insieme ortonormale, \left\{u_{i}\right\}_{i=1}^k un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e x=\sum_{i=0}^k c_i u_i è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora c_i=<x,u_i>\! e ||x||^2=\sum_{i=1}^k |c_i|^2
Corollario
Dato che x=0\iff c_i=0\quad \forall i e per ogni sottoinsieme finito \left\{u_i \right\}_{i=1}^k ogni insieme ortonormale è indipendente.

Sia V=\left\{v_i\right\}_{i=1}^k un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:

\left\Vert x-\sum_{i=1}^k c_i v_i\right\Vert.

Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma, x_0=Px\! e che

x-x_0\in <V>^{\bot{}}

Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:

Teorema 2.5.17
Sia \left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A} un insieme ortonormale in X, e x\in X allora:
\left\Vert x-\sum_{i=1}^k <x,u_i> u_i\right\Vert\leq\left\Vert x-\sum_{i=1}^k \lambda_iu_i\right\Vert,
e l'uguaglianza vale solo se \lambda_i=<x,u_i>\!;
\sum_{i=1}^k <x,u_i> u_i
è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli ui,δ la distanza tra x ed il sottospazio allora
\sum_{i=1}^k |<x,u_i>|^2=||x||^2-\delta ^2
Definizione
Sia U=\left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A} un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo
\tilde{x}(\alpha)=<x,u_{\alpha}>
come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.

Inoltre, se 0\leq \phi(\alpha)\leq\infty è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:

\sum_{\alpha\in A}\phi(\alpha)=\sup\left\{\sum_{i=1}^k{\phi(a_i)}|\left\{a_j\right\}_{j=1}^k\subseteq A\right\}

cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.

Teorema 2.5.19
Se \sum_{\alpha\in A}|\phi(\alpha)|=K<\infty, l'insieme degli elementi \beta\in A per i quali |\phi(\beta)|>0\! è al più numerabile.

[modifica] Teorema (Disuguaglianza di Bessel)

Riferendosi alla definizione data sopra, se U=\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha\in A} è un insieme ortonormale,

\sum_{\alpha\in A}|\tilde{x}(\alpha)|^2\leq ||x||^2
Definizione
Definiamo l'insieme:
l^2(A):=\left\{f:A\longrightarrow\C:\sum_{\alpha\in A}|f(\alpha)|^2<\infty\right\}

Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:

  • (f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha)\!
  • (\lambda f)(\alpha)=\lambda f(\alpha)\!
  • <f,g>:=\sum_{\alpha\in A}f(\alpha)\overline{g(\alpha)}

questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale U=\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha\in A}, corrisponde un elemento \tilde{x}(\alpha)\in l^2(A), grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:

\sum_{\alpha\in A}|\tilde{x}(\alpha)|^2<\infty.

Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di l2(A) cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:

[modifica] Teorema di Riesz-Fischer

Sia U=\left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A} un insieme ortonormale in H. Se \phi(\alpha)\in l^2(A) allora \exist x\in H : \phi(\alpha)=<x,u_{\alpha}>.

Definizione
Un insieme ortonormale U=\left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A} si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se \not\exist x\in H:x\neq 0 e <x,u_{\alpha}>=0\quad \forall\alpha\in A
Teorema
Sia U=\left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A} un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.
  1. \left\{u_\alpha\right\}_{\alpha\in A}
  2. L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
  3. Per ogni x\in H vale che ||x||^2=\sum_{\alpha\in A}|\tilde{x}(\alpha)|^2
  4. Se x,y\in H allora
<x,y>=\sum_{\alpha\in A}\tilde{x}(\alpha)\overline{\tilde{y}(\alpha)} (uguagianza di Parseval)
Teorema
Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.
Definizione
Diciamo che due spazi di Hilbert H1,H2 sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva \Phi:H_1\longrightarrow H_2 che conservi i prodotti scalari cioè se :
  • x,y\in H_1\Rightarrow <x,y>_{H_1}=<\Phi x,\Phi y>_{H_2}.
Teorema
Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità
Definizione
Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H, \left\{x_n\in H\right\}_{n=1}^\infty, tale che per ogni x\in H esiste una sottosuccessione x_{n_k} che tende a x.
Teorema
Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.
Teorema
In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme \left\{x_{\alpha}\right\}, indipendente tale che:
\forall x\in H\quad x=\sum_{i=1}^{N_{x}}c_i x_{\alpha_{i}}.

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