Analisi complessa/Funzioni elementari

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Definiremo ora una serie di funzioni sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per z = 0 rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.

Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.

Indice

[modifica] Esponenziale

La funzione esponenziale sul campo complesso ez è definita come

e^z = e^x (\cos y + i \sin y) = e^x e^{iy} \,

ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale,

e^{z1+z2} = e^{z1}e^{z2} \,
(e^z)^n = e^{nz} \,

Inoltre ez è periodica con periodo 2iπ, infatti si ha:

e^{z+2k\pi i} = e^z\!\quad\forall k\in \mathbb{Z}.

[modifica] Funzioni trigonometriche ed iperboliche

[modifica] Seno e coseno

Le funzioni trigonometriche si definiscono a partire dall'esponenziale, come:

\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2};

sono analitiche ed hanno rispettivamente derivate

(\sin{z})'=\cos{z}\!\qquad(\cos{z})'=-\sin{z}\!.

Valgono le formule di addizione, duplicazione, prostaferesi formalmente uguali a quelle del campo reale.

Osservazione: Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.

[modifica] Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono definite da:

\sinh{z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\qquad \cosh{z}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}

Le rispettive derivate sono:

(\sinh{z})'=\cosh{z}\qquad (\cosh{z})'=\sinh{z};

oltre alle solite relazioni valide sul campo reale, si hanno

  • -i \sinh{iz}=\sin{z}\!
  • \cosh{iz}=\cos{z}\!
  • -i\sin{iz}=sinh{z}\!
  • \cos{iz}=cosh{z}\!

Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.

[modifica] Logaritmo

Definiamo la funzione logaritmo come la soluzione w dell'equazione ew = z.

Scrivendo z = \mathcal{j} z \mathcal{j} e^{i \arg z} è chiaro come esistano più soluzioni, della forma

\log z = ln \mathcal{j}z \mathcal{j} + i (\arg z + 2k \pi ) ; k\in\mathbb{Z}

Ciascuna delle soluzioni, con k fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su \C tranne che nell'origine e lungo un raggio (branch cut), ed ha derivata

(\log z)' = \frac{1}{z}.

[modifica] Potenze con esponenti complessi

Per z\ne0 e c\in\mathbb{C} definiamo

z^c=e^{c\log{z}}\!.

Tale funzione coincide, per c\in\mathbb{N}, con i valori di zn definiti sulla base delle proprietà algebriche dei numeri complessi; in generale è però una funzione a molti valori, con branche che corrispondono alla branca scelta per la funzione logaritmo,

\log{z}=\ln{|z|}+i \arg{z}\quad (\alpha<\arg{z}<\alpha+2\pi).

zc è analitica nel dominio in cui è analitica la funzione logaritmo, e ha derivata:

(z^c)'= cx^{c-1}\!

[modifica] Funzione esponenziale con base c

La funzione esponenziale con base c si definisce come

c^{z}=e^{z}\log{c}\!

ed è una funzione intera quando venga scelta una qualsiasi branca di logc ed ha derivata:

(c^{z})'=c^z \log{c}\!

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