Analisi complessa/Norma e spazi di Banach

Analisi complessa

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Definizione 2.4.1.

Una norma è un'applicazione $\Vert \cdot \Vert$ sullo spazio vettoriale

V

(rispetto al campo $\mathbb{K}$ reale o complesso) che ha le seguenti proprietà:

siano $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ e $\lambda\in \mathbb{K}$

$\Vert \mathbf{x} \Vert \ge0$
$\Vert \mathbf{x} \Vert =0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
$\Vert \lambda \mathbf{x} \Vert =|\lambda|\Vert \mathbf{x} \Vert$
$\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y} \Vert \leq \Vert \mathbf{x} \Vert +\Vert \mathbf{y} \Vert$

[modifica] Teorema

Una norma permette di definire una funzione

$d_{\Vert \cdot \Vert }:V^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ ,

$d_{\Vert \cdot\Vert }(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$

che ha le proprietà di una distanza; $V$ è quindi uno spazio metrico rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Definizione 2.4.3.: Uno spazio vettoriale su $\mathbb{C}$ dotato di norma e completo rispetto alla metrica indotta dalla norma si dice spazio di Banach.