Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Sviluppo · modifica il template

Copertina Analisi complessa/Copertina

Indice

[modifica] Campo

Si dice campo un insieme \mathbb{E} sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se x, y, z\in \mathbb{E} allora:

per l'addizione
  1. x + y \in \mathbb{E} (chiusura rispetto all'addizione)
  2. x + y = y + x\! (proprietà commutativa)
  3. ( x + y ) + z =x + ( y + z)\! (proprietà associativa)
  4. \exists 0 \in \mathbb{E} : \forall x \in \mathbb{E} :x + 0 = x (elemento neutro rispetto all'addizione)
  5. \forall x \in \mathbb{E}\quad\exists -x \in \mathbb{E}:x+(-x)=0 (elemento opposto)
per la moltiplicazione
  1. x\cdot y\in \mathbb{E} (chiusura rispetto alla moltiplicazione)
  2. x \cdot y = y \cdot x (proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione)
  3. ( x \cdot y ) \cdot z =x \cdot(y \cdot z) (proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione)
  4. \exists 1 \in \mathbb{E} : \forall x \in \mathbb{E}\quad 1 \cdot x = x (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)
  5. \forall x\in \mathbb{E}\setminus{\{0\}}\quad\exists 1/x \in E: x \cdot(1/x)=1 (elemento inverso rispetto alla moltiplicazione)
  6. x\cdot( y + z)=x\cdot y + x \cdot z (proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione)

Esempi:Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, \mathbb{R} e \mathbb{C} sono due esempi molto importanti di campi.

[modifica] Spazio vettoriale

Definizione
Si dice spazio vettoriale rispetto ad un campo \mathbb{E} un insieme V sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':
Proprietà
siano \mathbf{x}, \mathbf{y} , \mathbf{z} \in V e \alpha , \beta \in \mathbb{E}

allora

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} \in V
  2. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}
  3. ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + ( \mathbf{y} + \mathbf{z} )
  4. \exists \mathbf{0} \in V : \forall \mathbf{x} \in V : \mathbf{x}+\mathbf{0} = \mathbf{x}
  5. \forall \mathbf{x} : \exists-\mathbf{x} : \mathbf{x} + ( - \mathbf{x})=\mathbf{0}
  6. \alpha\mathbf{x}\in V
  7. \alpha(\beta\mathbf{x})=(\alpha\cdot\beta)\mathbf{x}
  8. \alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}
  9. (\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}


  • Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, ed il vettore
\mathbf{v}=\sum_{i}c_{i}\mathbf{x}_{i}
si dice combinazione lineare dei vettori \mathbf{x}_{i}\in V con coefficienti c_i\in\mathbb{E};


  • Se S\subseteq V, l'insieme <S>\! di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in S si dice inviluppo lineare (span) di S, oppure si dice che <S>\! genera (spans) S.


  • I vettori \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k} si dicono linearmente indipendenti se
\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathbf{x}_i=\mathbf{0}:\Rightarrow c_{i}=0\quad\forall i=1,\ldots,k
si dicono dipendenti in caso contrario.


  • Se uno spazio vettoriale V contiene r vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene r+1 si dice che ha dimensione r, e si scrive \dim V=r.
  • Un insieme S di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di S sono linearmente indipendenti.
  • Un sottoinsieme B\subseteq V che generi V e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice base di V.


È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di V come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.

[modifica] Teorema 2.3.3.

Se uno spazio vettoriale è generato da un insieme di r vettori, allora \dim V \leq r.

Se \dim V=r allora:

  1. Un insieme di r vettori genera V se e solo se gli r vettori sono linearmente indipendenti
  2. V ha almeno una base, ed ogni base consiste di r vettori.
  3. Se \mathbf{y_i}_{i=1}^{s} con 1\leq s\leq r, ed i vettori \mathbf{y}_{i} sono linearmente indipendenti, esiste una base di V che contiene i vettori \mathbf{y}_{i}.

[modifica] Sottospazio

Definizione 2.3.4.
Un sottoinsieme M\subset V è un sottospazio dello spazio vettoriale V se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in V.

In altri termini, è un sottospazio se: \forall \mathbf{z},\mathbf{w} \in M, \alpha \in \mathbb{E} si ha:

  1. \mathbf{z} + \mathbf{w} \in M
  2. \alpha \mathbf{z} \in M

.

[modifica] Insieme convesso

Un sottoinsieme E\in V si dice convesso se per ogni \mathbf{x},\mathbf{y}\in E,con 0<t<1\!, si ha che:

\mathbf{z}=t\mathbf{y}+(1-t)\mathbf{x}\in E;
Osservazioni
Chiaramente, ogni sottospazio e' convesso, e se un insieme E è convesso, lo è anche il suo traslato
E+\mathbf{w}= \{\mathbf{x}+\mathbf{w} : \mathbf{x} \in E\}.

[modifica] Applicazioni lineari

Definizione 2.3.5.
Un'applicazione A da uno spazio vettoriale X ad uno spazio vettoriale Y si dice lineare se \forall\mathbf{x},\mathbf{y}\in X,\alpha,\beta\in \mathbb{E}
A(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha A(\mathbf{x})+\beta A(\mathbf{y}).
  • Le applicazioni lineari da X in X si dicono operatori lineari su X.


Definizione 2.3.6.
Un'applicazione lineare L:X \rightarrow \mathbb{C} si dice funzionale lineare.


  • L'insieme dei vettori in X tali che Lx = 0 si dice kernel (nocciolo, o nucleo) del funzionale L.
In altre parole si definisce il kernel di un funzionale L, il seguente insieme:
Ker(L):=\{\mathbf{x}\in X: L\mathbf{x}=0\}

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Campi_e_spazi_vettoriali"
Strumenti personali