Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa

Definizione

Una funzione di variabile complessa è una funzione

$f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$

dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.

Osservazioni

Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in $\mathbb {R} ^{2}$.
Sia $\Phi$ una funzione biunivoca che mappa $\mathbb {C}$ in $\mathbb {R} ^{2}$, ad esempio

$\Phi :z=x+iy\mapsto \mathbf {w} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$

Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa

$f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$

come somma di due funzioni $\Phi (S)\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

$f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

Limiti

I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di $\mathbb {C}$; scriviamo

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=w\iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$

I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di $\infty$ come

$|z|>{\frac {1}{\varepsilon }},\varepsilon >0$

$\lim _{z\to \infty }f(z)=w\iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z|>{\frac {1}{\delta }}\Rightarrow \ |f(z)-w|<\varepsilon$

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=\infty \iff \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:|z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |f(z)|>{\frac {1}{\varepsilon }}$

Teoremi sui limiti

Teorema 1.2.2

Considerando

$f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

$z_{0}=x_{0}+iy_{0}\!$

$w_{0}=u_{0}+iv_{0}\!$

si ha che:

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=w_{0}\iff \lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}u(x,y)=u_{0}\qquad$ e $\qquad \lim _{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}v(x,y)=v_{0}$

Teorema 1.2.3

Se

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=f_{0}$ e $\lim _{z\to z_{0}}g(z)=g_{0}$

allora

1. $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)+g(z)]=f_{0}+g_{0}$
2. $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)g(z)]=f_{0}g_{0}$
3. $\lim _{z\to z_{0}}[f(z)/g(z)]=f_{0}/g_{0}$

per $g_{0}\neq 0$

Continuità

Definizione

Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.

Una funzione $f(z)$ è continua in $z_{0}$ se

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$

sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.

Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.

Teoremi sulla continuità

Teorema 1.2.5

Una funzione $f(z)$ è continua se e solo se le sue componenti $u$ e $v$ sono continue.

Teorema 1.2.6

La funzione composta da due funzioni continue è continua.

Teorema 1.2.7

Una funzione continua su un insieme $A$ chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di $A$.