Analisi complessa/Funzioni elementari

Definiremo ora una serie di funzioni sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per $z=0$ rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.

Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.

Esponenziale

La funzione esponenziale sul campo complesso $e^{z}$ è definita come

$e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}e^{iy}\,$

ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale,

$e^{z1+z2}=e^{z1}e^{z2}\,$

$(e^{z})^{n}=e^{nz}\,$

Inoltre $e^{z}$ è periodica con periodo 2i$\pi$, infatti si ha:

$e^{z+2k\pi i}=e^{z}\!\quad \forall k\in \mathbb {Z}$.

Funzioni trigonometriche ed iperboliche

Seno e coseno

Le funzioni trigonometriche si definiscono a partire dall'esponenziale, come:

$\sin {z}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\qquad \cos {z}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$;

sono analitiche ed hanno rispettivamente derivate

$(\sin {z})'=\cos {z}\!\qquad (\cos {z})'=-\sin {z}\!$.

Valgono le formule di addizione, duplicazione, prostaferesi formalmente uguali a quelle del campo reale.

Osservazione: Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.

Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono definite da:

$\sinh {z}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\qquad \cosh {z}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$

Le rispettive derivate sono:

$(\sinh {z})'=\cosh {z}\qquad (\cosh {z})'=\sinh {z}$;

oltre alle solite relazioni valide sul campo reale, si hanno

• $-i\sinh {iz}=\sin {z}\!$
• $\cosh {iz}=\cos {z}\!$
• $-i\sin {iz}=sinh{z}\!$
• $\cos {iz}=cosh{z}\!$

Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.

Logaritmo

Definiamo la funzione logaritmo come la soluzione $w$ dell'equazione $e^{w}=z$.

Scrivendo $z={\mathcal {j}}z{\mathcal {j}}e^{i\arg z}$ è chiaro come esistano più soluzioni, della forma

$\log z=ln{\mathcal {j}}z{\mathcal {j}}+i(\arg z+2k\pi );k\in \mathbb {Z}$

Ciascuna delle soluzioni, con k fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su $\mathbb {C}$ tranne che nell'origine e lungo un raggio (branch cut), ed ha derivata

$(\log z)'={\frac {1}{z}}$.

Potenze con esponenti complessi

Per $z\neq 0$ e $c\in \mathbb {C}$ definiamo

$z^{c}=e^{c\log {z}}\!$.

Tale funzione coincide, per $c\in \mathbb {N}$, con i valori di $z^{n}$ definiti sulla base delle proprietà algebriche dei numeri complessi; in generale è però una funzione a molti valori, con branche che corrispondono alla branca scelta per la funzione logaritmo,

$\log {z}=\ln {|z|}+i\arg {z}\quad (\alpha <\arg {z}<\alpha +2\pi )$.

$z^{c}$ è analitica nel dominio in cui è analitica la funzione logaritmo, e ha derivata:

$(z^{c})'=cx^{c-1}\!$

Funzione esponenziale con base c

La funzione esponenziale con base c si definisce come

$c^{z}=e^{{z}\log {c}\!}$

ed è una funzione intera quando venga scelta una qualsiasi branca di $\log {c}$ ed ha derivata:

$(c^{z})'=c^{z}\log {c}\!$