Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.
Indichiamo con il simbolo l'insieme vuoto.
Se e sono due insiemi, definiamo:
- l' unione dei due insiemi,
- l' intersezione,
- la differenza,
- Definizione 4.2.1.
- Due insiemi si dicono disgiunti se
- .
Una famiglia di insiemi si dice anello se presi due insiemi , implica che:
- (chiusura rispetto all'unione)
- (chiusura rispetto alla differenza).
La proprietà 2. ne implica una terza:
- , infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
- .
si chiama -anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di è ancora un elemento di , cioè se implica
- (chiusura rispetto all'unione numerabile)
Se è un -anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di è ancora un elemento dell'anello,
- (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
- Definizione
- Una funzione
- si dice funzione di insiemi
- additiva se
- numerabilmente additiva se:
Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia che , e quelle per cui .
Se una funzione di insiemi soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti
proprietà:
- La serie converge assolutamente;
- ;
- se
- Se e allora .
- Se e ,
- Se e e con
- Definizione 4.2.3.
- Definiamo un intervallo in l'insieme dei punti
- tali che
- sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni segni sostituiti da ; non si esclude il caso in cui per qualche si abbia , e l'insieme vuoto è un intervallo.
- Definizione.
- Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.
Definiamo la funzione di insiemi
e se è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo
- .
Indichiamo con la famiglia dei sottoinsiemi elementari di .
- è un anello, ma non un -anello
- , è possibile scrivere come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
- definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono
- è additiva su .
- Definizione 4.2.5
- Una funzione di insiemi additiva e non negativa definita su si dice regolare se per ogni e esistono , con chiuso e aperto, tali che
- e
- Ad esempio, è regolare.
Sia ora additiva, non negativa, regolare e finita su . Ricopriamo un insieme con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari ,
- .
Definiamo la misura esterna di corrispondente a
dove l' è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di .
Evidentemente , e se , allora .
- TEOREMA 4.2.6.
- Per ogni ,
- e se
- allora
- Definizione
- Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi e come
- e, se
- .
La funzione è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:
Non è vero tuttavia che . A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme
delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di rispetto alla relazione di equivalenza .
A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno
spazio metrico. Diremo che (la successione di insiemi converge all'insieme A) se .
Se esiste una successione di insiemi elementari tale che diremo che è finitamente -misurabile, e scriveremo
Se è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente -misurabili, diremo che è -misurabile, e scriveremo .
- Teorema
- è un -anello, e è numerabilmente additiva su .
- In altri termini, è il completamento di , e estende rendendolo un -anello.
In maniera analoga estende la funzione (definita solo su ) dandole un senso anche in , nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se si dice misura di Lebesgue.