Analisi complessa/Serie trigonometriche

Definizione 2.6.1.

Sia

$\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$

il cerchio unitario nel piano complesso; se $F:\mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C}$ è una qualsiasi funzione definita su $\mathbb {T}$, la funzione definita su $\mathbb {R}$ come $f(t)=F(e^{it})$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$. Viceversa, ad ogni funzione periodica su $\mathbb {R}$ di periodo $2\pi$ corrisponde una funzione $F$ definita su $\mathbb {T}$ .

Definizione 2.6.1

Sia $C(\mathbb {T} )$ l'insieme di tutte le funzioni continue definite su $\mathbb {T}$ (o equivalentemente delle funzioni su $\mathbb {R}$ continue e $2\pi$-periodiche).

Definendo il prodotto interno

$<f,g>=\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}dt$

$C(\mathbb {T} )$ è uno spazio pre-Hilbertiano, ma non è completo. In effetti, $C(\mathbb {T} )$ è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,

$\Vert f\Vert =\sup _{t\in [0,2\pi ]}|f(t)|$,

che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare $C(\mathbb {T} )$ come uno spazio con prodotto interno. Per ottenere una struttura Hilbertiana su $\mathbb {T}$ è necessario concepire un integrale più generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile,$L^{2}\left(\mathbb {T} \right)$, con prodotto scalare

$<f,g>=\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}dt$

si può dimostrare che questo spazio è completo.

Polinomi trigonometrici

Definizione 2.6.2

Consideriamo gli insiemi ortonormali in $C(\mathbb {T} )$,

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos {kx},{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sin {kx}\right\}_{k=1}^{\infty }\qquad \left\{{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}e^{inx}}}\right\}_{n=-\infty }^{\infty }$

definiamo quindi i polinomi trigonometrici come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente

$P_{N}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}a_{0}+\sum _{k=1}^{N}\left(a_{k}{\frac {\cos kx}{\sqrt {\pi }}}+b_{k}{\frac {\sin kx}{\sqrt {\pi }}}\right)\qquad P_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}{\frac {e^{inx}}{\sqrt {2\pi }}}$

I polinomi trigonometrici sono densi in $C(\mathbb {T} )$, sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in $L^{2}(\mathbb {T} )$, ne segue che $L^{2}(\mathbb {T} )$ è separabile.

Corollario 2.6.4

Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione $f\in L^{2}(\mathbb {T} )$ definiamo i suoi coefficienti di Fourier

${\hat {f}}(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {e^{-int}}{\sqrt {2\pi }}}dt$

allora vale l'uguaglianza di Parseval

$\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n){\overline {{\hat {g}}(n)}}$

e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi $\left\{c_{n}\right\}$ sommabile in modulo quadro vi è una funzione in $L^{2}(\mathbb {T} )$ per la quale

$c_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {e^{-int}}{\sqrt {2\pi }}}dt$.