Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali

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Campo[modifica]

Si dice campo un insieme sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se allora:

per l'addizione
  1. (chiusura rispetto all'addizione)
  2. (proprietà commutativa)
  3. (proprietà associativa)
  4. (elemento neutro rispetto all'addizione)
  5. (elemento opposto)
per la moltiplicazione
  1. (chiusura rispetto alla moltiplicazione)
  2. (proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione)
  3. (proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione)
  4. (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)
  5. (elemento inverso rispetto alla moltiplicazione)
  6. (proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione)

Esempi:Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, e sono due esempi molto importanti di campi.

Spazio vettoriale[modifica]

Definizione
Si dice spazio vettoriale rispetto ad un campo un insieme sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':
Proprietà
siano e

allora

  • Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, ed il vettore
si dice combinazione lineare dei vettori con coefficienti ;
  • Se , l'insieme di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in si dice inviluppo lineare (span) di , oppure si dice che genera (spans) .
  • I vettori si dicono linearmente indipendenti se
si dicono dipendenti in caso contrario.
  • Se uno spazio vettoriale contiene r vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene r+1 si dice che ha dimensione r, e si scrive .
  • Un insieme di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di sono linearmente indipendenti.
  • Un sottoinsieme che generi e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice base di .

È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.

Teorema 2.3.3.[modifica]

Se uno spazio vettoriale è generato da un insieme di r vettori, allora .

Se allora:

  1. Un insieme di vettori genera se e solo se gli vettori sono linearmente indipendenti
  2. ha almeno una base, ed ogni base consiste di vettori.
  3. Se con , ed i vettori sono linearmente indipendenti, esiste una base di che contiene i vettori .

Sottospazio[modifica]

Definizione 2.3.4.
Un sottoinsieme è un sottospazio dello spazio vettoriale se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in .

In altri termini, è un sottospazio se: si ha:

.

Insieme convesso[modifica]

Un sottoinsieme si dice convesso se per ogni ,con , si ha che:

;
Osservazioni
Chiaramente, ogni sottospazio è convesso, e se un insieme è convesso, lo è anche il suo traslato
.

Applicazioni lineari[modifica]

Definizione 2.3.5.
Un'applicazione da uno spazio vettoriale ad uno spazio vettoriale si dice lineare se
.
  • Le applicazioni lineari da in si dicono operatori lineari su .
Definizione 2.3.6.
Un'applicazione lineare si dice funzionale lineare.
  • L'insieme dei vettori in tali che si dice kernel (nocciolo, o nucleo) del funzionale .
In altre parole si definisce il kernel di un funzionale L, il seguente insieme: