Analisi complessa/Operatori lineari in H

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Operatore lineare[modifica]

Definizione 2.7.1
Definiamo l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert in se stesso
.

Un operatore lineare si dice

  • continuo
    se
  • limitato se
    .

Per un operatore le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  • è continuo in ;
  • è continuo in tutto ;
  • è limitato

Norme di operatori[modifica]

Definizione
Sia l'insieme degli operatori lineari limitati su ; definiamo

è uno spazio vettoriale su , ponendo

  • .
Teorema
è una norma, e è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
Teorema
Siano:
  • uno spazio di Hilbert,
  • una successione in con ,
  • un'altra successione in con
  • una successione in con
Allora l'applicazione
è lineare e continua.
Definizione2.7.6.
Consideriamo una successione di operatori
Diciamo che
  • In norma se
    ,
cioè se
.
  • Fortemente se
    ,
cioè se
  • Debolmente se
    .
Teorema
La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.
Definizione 2.7.8.
Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore l'insieme degli tali che . Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
Definiamo rango di un operatore l'insieme degli tali che per qualche :

Operatori aggiunti[modifica]

Definizione 2.7.9.
Sia ; definiamo l' operatore aggiunto come l'operatore che soddisfa
.
TEOREMA 2.7.10.
Se anche ; inoltre
e
.

Nel caso finito-dimensionale, per , si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, , con , in modo tale che

,

dove sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti dei vettori dello spazio.

Inoltre, con il prodotto scalare definito come

è facile mostrare che è rappresentato dalla matrice aggiunta

Operatori compatti[modifica]

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

Definizione 2.7.11.
Sia , dove è uno spazio metrico.
si dice compatto se per ogni successione
esiste una sottosuccessione che converge ad un punto .
Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente se è chiuso.
Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.
TEOREMA 2.7.12
Sia dove è uno spazio normato; allora se

è compatto, è anche chiuso e limitato ().

Se (finito-dimensionale) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Teorema di Bolzano-Weierstrass
In ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia spazio di Hilbert, con ,allora l'insieme è chiuso e limitato ma non compatto.

Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

Definizione 2.7.16
Un operatore si dice compatto se per limitato, è precompatto; in altre parole, se
converge.
TEOREMA 2.7.17.
Se , è compatto.
Se è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori con .

Spettro di operatori[modifica]

Definizione 2.7.18.
Definiamo il prodotto di due operatori
come
.

È facile notare che

.

Questo fatto, unito alla completezza di ed alla presenza di un funzionale lineare continuo tale che

e

fa di un'algebra di Banach.

Definiamo l' operatore inversodi un operatore l'operatore tale che

L'operatore inverso esiste se e solo se è biunivoco: se non fosse suriettivo, non sarebbe definito per qualche , e se non fosse iniettivo, e quindi non sarebbe univocamente definito;

L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

Teorema della mappa aperta[modifica]

Siano e due spazi di Banach su , e lineare. Se

(se è suriettiva)

allora sia

la sfera unitaria in , allora

dove è la sfera di raggio in .

Corollario.
Se ed è biunivoca, allora
;
pertanto
quindi
e dunque
.
Definizione di spettro.
Definiamo lo spettro di un operatore come l'insieme dei tali che
non ammette inverso continuo.

Se esiste un vettore tale che per un vale che (in altri termini se ) si dice che è un autovalore di . L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto ;chiaramente .

TEOREMA 2.7.23
Per ogni operatore , è chiuso e limitato.
TEOREMA 2.7.24
Sia operatore compatto. Allora è vero che:
  • Se allora
  • sia che sono compatti.
TEOREMA 2.7.25.
Sia operatore compatto. Per ogni esiste solo un numero finito di elementi di che siano maggiori di  ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo .Inoltre .
Operatori autoaggiunti.
Un operatore si dice autoaggiunto se .Se è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
Teorema
Se è compatto ed autoaggiunto, e è separabile, allora gli autovettori di costituiscono una base Hilbertiana per .