- Definizione 2.7.1
- Definiamo
l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert
in se stesso
.
Un operatore lineare si dice
- continuo
- se
![{\displaystyle \forall x_{0}\in H,\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Lx-Lx_{0}\Vert <\varepsilon ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01880a1df0825cc36b845f67b4e403b03d51d13)
- limitato se
.
Per un operatore
le seguenti affermazioni sono equivalenti:
è continuo in
;
è continuo in tutto
;
è limitato ![{\displaystyle \forall {x_{n}}:x_{n}\rightarrow {\bar {x}}\Rightarrow Lx_{n}\rightarrow L{\bar {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6647a2328dfd41c5d047d2d8920773b8563f0a)
- Definizione
- Sia
l'insieme degli operatori lineari limitati su
; definiamo
![{\displaystyle \Vert L\Vert _{{\mathcal {B}}(H)}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Vert Lx\Vert }{\Vert x\Vert }}=\sup _{x\neq 0}\left\Vert L{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42417c4fda8f7998789ebaf705968299c478f7ff)
è uno spazio vettoriale su
, ponendo
![{\displaystyle (L_{1}+L_{2})x=L_{1}x+L_{2}x\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9f1e70eea689a39fc72905d1cbe703655430ab)
.
- Teorema
è una norma, e
è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
- Teorema
- Siano:
uno spazio di Hilbert,
una successione in
con
,
un'altra successione in
con ![{\displaystyle \Vert y_{n}\Vert \leq K<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7d572ec4e7617da0868ce3022ffe3be7514b2a)
una successione in
con ![{\displaystyle \sum _{n}|\alpha _{n}|\leq K<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24de7f3b9a9d9b3ae630a280289466ed6a33cb25)
- Allora l'applicazione
![{\displaystyle x\rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f368a776691b6117506157933f1b092a01f038)
- è lineare e continua.
- Definizione2.7.6.
- Consideriamo una successione di operatori
![{\displaystyle \left\{L_{n}\right\}\subseteq {\mathcal {L}}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2724e13521b17d9d32fc3d22a6f36b4482e005c1)
- Diciamo che
- In norma se
,
- cioè se
.
- Fortemente se
,
- cioè se
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,x\in H\quad \exists N_{x}:n>N_{n}\Rightarrow \Vert L_{n}x-Lx\Vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56be20c5b6572f23b6b9faf918432c4fa2362edf)
- Debolmente se
.
- Teorema
- La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.
- Definizione 2.7.8.
- Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore
l'insieme degli
tali che
. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
- Definiamo rango di un operatore l'insieme degli
tali che
per qualche
:
![{\displaystyle \ker L=\left\{x\in H:Lx=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c38cfe08b7971903576816f2194d565f7e9dabb)
![{\displaystyle r(L)=\left\{y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cf636abf10355d17b153cb1d4fac89b32f36aa)
- Definizione 2.7.9.
- Sia
; definiamo l' operatore aggiunto
come l'operatore che
soddisfa
.
- TEOREMA 2.7.10.
- Se
anche
; inoltre
![{\displaystyle \Vert L^{\star }\Vert _{\mathcal {B}}=\Vert L\Vert _{\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04297bbfb0557757cb97de9d5c0a2c8d09c9bc98)
- e
.
Nel caso finito-dimensionale, per
, si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici,
, con
, in modo tale che
,
dove
sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti
dei vettori dello spazio.
Inoltre, con il prodotto scalare definito come
![{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a56f552b405c98ea4d572a905a19dd9ac4fe53)
è facile mostrare che
è rappresentato dalla matrice aggiunta
![{\displaystyle A^{\star }=({\overline {a_{ji}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8475cf4f8ef78ac22a572020f883efe9e9a69b20)
Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).
- Definizione 2.7.11.
- Sia
, dove
è uno spazio metrico.
si dice compatto se per ogni successione
![{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52caa290fc07743a59bedd808fb73b2c93072508)
- esiste una sottosuccessione che converge ad un punto
.
- Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura
di un insieme
è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente
se
è chiuso.
- Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.
- TEOREMA 2.7.12
- Sia
dove
è uno spazio normato; allora se
è compatto, è anche chiuso e limitato (
).
Se
(finito-dimensionale)
è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
- Teorema di Bolzano-Weierstrass
- In
ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.
Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:
- Sia
spazio di Hilbert, con
,allora l'insieme
è chiuso e limitato ma non compatto.
Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.
- Definizione 2.7.16
- Un operatore
si dice compatto se per
limitato,
è precompatto; in altre parole, se
converge.
- TEOREMA 2.7.17.
- Se
,
è compatto.
- Se
è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori
con
.
- Definizione 2.7.18.
- Definiamo il prodotto di due operatori
![{\displaystyle L_{1},L_{2}\in {\mathcal {B}}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285fbea16689cfd77ac427a04e89b7e38f125a17)
- come
.
È facile notare che
.
Questo fatto, unito alla completezza di
ed alla presenza di un funzionale lineare continuo
tale che
![{\displaystyle LE=EL=L:\forall L\in {\mathcal {B}}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9883e0d6c9cc8c44b31a778658a35560c403c61b)
e
![{\displaystyle \Vert E\Vert =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b941ea1b80881732ade2611409bb606b85e5bc9d)
fa di
un'algebra di Banach.
Definiamo l' operatore inversodi un operatore
l'operatore
tale che
![{\displaystyle \forall y\in HL^{-1}y=x\iff Lx=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0bcecc7c99b60cfe94f5fbdd59696163f4089b)
L'operatore inverso esiste se e solo se
è biunivoco: se
non fosse suriettivo,
non sarebbe definito per qualche
, e se non fosse iniettivo,
e quindi
non sarebbe univocamente definito;
![{\displaystyle L^{-1}L=LL^{-1}=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089d3335a251c90f26fa1c77fbc52e352af4a3b1)
L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.
Siano
e
due spazi di Banach su
, e
lineare. Se
(se
è suriettiva)
allora sia
![{\displaystyle S_{G}\subseteq G=\left\{x\in G:\Vert x\Vert \leq 1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9199a30acdcafe9531c5923a2a61a3b923f8292)
la sfera unitaria in
, allora
![{\displaystyle \delta S_{W}\subseteq L(S_{G})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96138336c38830083fe0b43b1c2a002c613672a5)
dove
è la sfera di raggio
in
.
- Corollario.
- Se
ed è biunivoca, allora
;
- pertanto
![{\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert LL^{-1}x\Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39805de729be2cb3f5b367d29077b428c6c9a4bb)
- quindi
![{\displaystyle \Vert L^{-1}x\Vert \leq 1\delta \Vert x\Vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391f7037a07e85eaf85d16041b4373527f1a858b)
- e dunque
.
- Definizione di spettro.
- Definiamo lo spettro
di un operatore
come l'insieme dei
tali che
![{\displaystyle L-\lambda E\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9041334ac2be4809574adde97f3bb29773ca8ad4)
- non ammette inverso continuo.
Se esiste un vettore
tale che per un
vale che
(in altri termini se
) si dice che
è un autovalore di
. L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto
;chiaramente
.
- TEOREMA 2.7.23
- Per ogni operatore
,
è chiuso e limitato.
- TEOREMA 2.7.24
- Sia
operatore compatto. Allora è vero che:
![{\displaystyle \forall \lambda \neq 0\dim \ker(T-\lambda I)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a9deca0de62a5fe7de8811cff2e6500f98d9b6)
- Se
allora ![{\displaystyle 0\in \sigma (T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0b8d4cae5a135b2c07031daf0fae88e4cd8b75)
![{\displaystyle \forall S\in {\mathcal {B}}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c060bf413152dbca14d61d0a607c42adcc3ffe)
- sia
che
sono compatti.
- TEOREMA 2.7.25.
- Sia
operatore compatto. Per ogni
esiste solo un numero finito di elementi di
che siano maggiori di
; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo
.Inoltre
.
- Operatori autoaggiunti.
- Un operatore si dice autoaggiunto se
.Se
è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
- Teorema
- Se
è compatto ed autoaggiunto, e
è separabile, allora gli autovettori di
costituiscono una base Hilbertiana per
.