Analisi complessa/Operatori lineari in H

Operatore lineare

Definizione 2.7.1

Definiamo ${\mathcal {L}}(H)$ l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert $H$ in se stesso

${\mathcal {L}}(H)=\{L:H\rightarrow H;x,y\in H,\quad \alpha ,\beta \in C\Rightarrow L(\alpha x+\beta y)=\alpha Lx+\beta Ly\}$.

Un operatore lineare si dice

• continuo

  se $\forall x_{0}\in H,\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Lx-Lx_{0}\Vert <\varepsilon ;$

• limitato se

  $\exists k>0:\forall x\in H\Vert Lx\Vert <k\Vert x\Vert$ .

Per un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• $L$ è continuo in $0$;
• $L$ è continuo in tutto $H$;
• $L$ è limitato $\forall {x_{n}}:x_{n}\rightarrow {\bar {x}}\Rightarrow Lx_{n}\rightarrow L{\bar {x}}$

Norme di operatori

Definizione

Sia ${\mathcal {B}}(H)$ l'insieme degli operatori lineari limitati su $H$; definiamo

$\Vert L\Vert _{{\mathcal {B}}(H)}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Vert Lx\Vert }{\Vert x\Vert }}=\sup _{x\neq 0}\left\Vert L{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert$

${\mathcal {B}}(H)$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {C}$, ponendo

• $(L_{1}+L_{2})x=L_{1}x+L_{2}x\!$
• $(\lambda L)x=\lambda Lx\!$.

Teorema

$\Vert \cdot \Vert _{{\mathcal {B}}(H)}$ è una norma, e ${\mathcal {B}}(H)$ è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Teorema

Siano:

• $H$ uno spazio di Hilbert,
• $\left\{x_{n}\right\}$ una successione in $H$ con $\Vert x_{n}\Vert \leq K<\infty$,
• $\left\{y_{n}\right\}$ un'altra successione in $H$ con $\Vert y_{n}\Vert \leq K<\infty$
• $\left\{\alpha _{n}\right\}$ una successione in $\mathbb {C}$ con $\sum _{n}|\alpha _{n}|\leq K<\infty$

Allora l'applicazione

$x\rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}y_{n}$

è lineare e continua.

Definizione2.7.6.

Consideriamo una successione di operatori

$\left\{L_{n}\right\}\subseteq {\mathcal {L}}(H)$

Diciamo che $L_{n}\rightarrow L$

• In norma se

  $\forall \varepsilon >0\exists N:n>N\Rightarrow \Vert L_{n}-L\Vert _{{\mathcal {B}}(H)}<\varepsilon$,

cioè se

$\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert L_{n}x-Lx\Vert <\epsilon$ .

• Fortemente se

  $\forall x\in H\quad L_{n}x\rightarrow Lx$,

cioè se

$\forall \varepsilon >0,x\in H\quad \exists N_{x}:n>N_{n}\Rightarrow \Vert L_{n}x-Lx\Vert <\varepsilon$

• Debolmente se

  $\forall x,y\in H\;<L_{n}x,y>\longrightarrow <Lx,y>$.

Teorema

La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.

Definizione 2.7.8.

Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$ l'insieme degli $x\in H$ tali che $Lx=0$. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.

Definiamo rango di un operatore l'insieme degli $y\in H$ tali che $Lx=y$ per qualche $x\in H$:

$\ker L=\left\{x\in H:Lx=0\right\}$

$r(L)=\left\{y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}$

Operatori aggiunti

Definizione 2.7.9.

Sia $L\in {\mathcal {L}}(H)$; definiamo l' operatore aggiunto $L^{\star }$ come l'operatore che $\forall x,y\in H$ soddisfa

$<Lx,y>=<x,L^{\star }y>$.

TEOREMA 2.7.10.

Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$ anche $L^{\star }\in {\mathcal {B}}(H)$; inoltre

$\Vert L^{\star }\Vert _{\mathcal {B}}=\Vert L\Vert _{\mathcal {B}}$

e

$(L^{\star })^{\star }=L$.

Nel caso finito-dimensionale, per $\mathbb {C} ^{N}$, si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, $A=(a_{ij})$, con $a_{ij}\in \mathbb {C}$, in modo tale che

$L\mathbf {x} =A\mathbf {x} =\sum _{ij}a_{ij}x_{j}{\hat {e}}_{i}$,

dove ${\hat {e}}_{i}$ sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti $x_{i}$ dei vettori dello spazio.

Inoltre, con il prodotto scalare definito come

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$

è facile mostrare che $L^{\star }$ è rappresentato dalla matrice aggiunta

$A^{\star }=({\overline {a_{ji}}})$

Operatori compatti

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

Definizione 2.7.11.

Sia $A\subseteq X$, dove $X$ è uno spazio metrico.

$A$ si dice compatto se per ogni successione

$\left\{x_{n}\right\}\subseteq A$

esiste una sottosuccessione che converge ad un punto $x\in A$.

Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura ${\bar {A}}$ di un insieme $A$ è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente ${\bar {A}}=A$ se $A$ è chiuso.

Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.

TEOREMA 2.7.12

Sia $A\subseteq J$ dove $J$ è uno spazio normato; allora se

$A$ è compatto, è anche chiuso e limitato ($\exists K>0:\Vert x\Vert _{J}<K\forall x\in A$).

Se $J=\mathbb {R} ^{N},\mathbb {C} ^{N}$ (finito-dimensionale) $A\subseteq J$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

In $\mathbb {C} ^{N}$ ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia $H$ spazio di Hilbert, con $\dim H=\infty$,allora l'insieme $S=\left\{x:\Vert x\Vert =1\right\}$ è chiuso e limitato ma non compatto.

Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

Definizione 2.7.16

Un operatore $L\in {\mathcal {L}}(H)$ si dice compatto se per $\forall C\subseteq H$ limitato, $L(C)$ è precompatto; in altre parole, se

$\forall x_{n}\in H,\Vert x_{n}\Vert <K\quad \exists \left\{x_{n_{k}}\right\}:\left\{Lx_{n_{k}}\right\}$ converge.

TEOREMA 2.7.17.

Se $\dim r(L)<\infty$, $L$ è compatto.

Se $H$ è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori $A_{n}$ con $\dim r(A_{n})<\infty$.

Spettro di operatori

Definizione 2.7.18.

Definiamo il prodotto di due operatori

$L_{1},L_{2}\in {\mathcal {B}}(H)$

come

$(L_{1}L_{2})x=L_{1}(L_{2}x)\forall x\in H$.

È facile notare che

$\Vert L_{1}L_{2}\Vert \leq \Vert L_{1}\Vert \Vert L_{2}\Vert$.

Questo fatto, unito alla completezza di ${\mathcal {B}}(H)$ ed alla presenza di un funzionale lineare continuo $E:x\rightarrow x$ tale che

$LE=EL=L:\forall L\in {\mathcal {B}}(H)$

e

$\Vert E\Vert =1$

fa di ${\mathcal {B}}(H)$ un'algebra di Banach.

Definiamo l' operatore inversodi un operatore $L:H\rightarrow H$ l'operatore $L^{-1}$ tale che

$\forall y\in HL^{-1}y=x\iff Lx=y$

L'operatore inverso esiste se e solo se $L$ è biunivoco: se $L$ non fosse suriettivo, $L^{-1}$ non sarebbe definito per qualche $y\in H$, e se non fosse iniettivo, $Lx_{1}=Lx_{2}=y$ e quindi $L^{-1}y$ non sarebbe univocamente definito;

$L^{-1}L=LL^{-1}=E$

L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

Teorema della mappa aperta

Siano $G$ e $W$ due spazi di Banach su $\mathbb {C}$, e $L:G\rightarrow W$ lineare. Se

$L(G)=W$ (se $L$ è suriettiva)

allora sia

$S_{G}\subseteq G=\left\{x\in G:\Vert x\Vert \leq 1\right\}$

la sfera unitaria in $G$, allora

$\delta S_{W}\subseteq L(S_{G})$

dove $\delta S_{W}$ è la sfera di raggio $\delta >0$ in $W$.

Corollario.

Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$ ed è biunivoca, allora

$\Vert Lx\Vert \geq \delta \Vert x\Vert$;

pertanto

$\Vert x\Vert =\Vert LL^{-1}x\Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert$

quindi

$\Vert L^{-1}x\Vert \leq 1\delta \Vert x\Vert$

e dunque

$L^{-1}\in {\mathcal {B}}(H)$.

Definizione di spettro.

Definiamo lo spettro $\sigma (L)$ di un operatore $L\in {\mathcal {B}}(H)$ come l'insieme dei $\lambda \in \mathbb {C}$ tali che

$L-\lambda E\!$

non ammette inverso continuo.

Se esiste un vettore $v\neq 0$ tale che per un ${\bar {\lambda }}\in \sigma (L)$ vale che $Lv-{\bar {\lambda }}v=0$ (in altri termini se $\ker(L-{\bar {\lambda }}E)\neq 0$) si dice che ${\bar {\lambda }}$ è un autovalore di $L$. L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto $\sigma _{D}(L)$;chiaramente $\sigma _{D}\subseteq \sigma$ .

TEOREMA 2.7.23

Per ogni operatore $L\in {\mathcal {B}}(H)$,$\sigma (L)$ è chiuso e limitato.

TEOREMA 2.7.24

Sia $T\in {\mathcal {L}}(H)$ operatore compatto. Allora è vero che:

• $\forall \lambda \neq 0\dim \ker(T-\lambda I)<\infty$
• Se $\dim H=\infty$ allora $0\in \sigma (T)$
• $\forall S\in {\mathcal {B}}(H)$
• sia $ST$ che $TS$ sono compatti.

TEOREMA 2.7.25.

Sia $T\in {\mathcal {L}}(H)$ operatore compatto. Per ogni $n>0$ esiste solo un numero finito di elementi di $\sigma (T)$ che siano maggiori di $0$; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo $0$.Inoltre $\sigma (T)=\sigma _{D}(T)$.

Operatori autoaggiunti.

Un operatore si dice autoaggiunto se $L^{\star }=L$.Se $L\in {\mathcal {B}}(H)$è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

Teorema

Se $T\in {\mathcal {B}}(H)$ è compatto ed autoaggiunto, e $H$ è separabile, allora gli autovettori di $T$ costituiscono una base Hilbertiana per $H$.