Analisi complessa/Numeri complessi

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Definizione 1.1.1.
Definiamo l'insieme dei numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali con somma e prodotto definiti come

È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come

dove i = (0,1).

L'analogia tra ed (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero

definiamo:

  • il coniugato
  • la parte reale
  • la parte immaginaria
  • il modulo

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere come

Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. è il modulo di e l'argomento , che è definito a meno di multipli interi di . Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in , .

Definendo poi tramite la formula di Eulero

(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo

Proprietà[modifica]

Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano , con e . Avremo:

Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza, e di conseguenza si può considerare uno spazio metrico.