Analisi complessa/Numeri complessi

Definizione 1.1.1.

Definiamo l'insieme dei numeri complessi $\mathbb {C}$ come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ con somma e prodotto definiti come

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,$

$(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})\,$

È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come

$(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,$

dove i = (0,1).

L'analogia tra $\mathbb {C}$ ed $\mathbb {R} ^{2}$ (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero

$z\in \mathbb {C} =x+iy=(x,y)$

definiamo:

• il coniugato

${\bar {z}}=x-iy$

• la parte reale

$Re\,z=x=(z+{\bar {z}})/2$

• la parte immaginaria

$Im\,z=y=(z-{\bar {z}})/2$

• il modulo

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere $z\in \mathbb {C}$ come

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )\,$

Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. $\rho$ è il modulo di $z$ e $\theta$ l'argomento $\theta =\arg z$, che è definito a meno di multipli interi di $2\pi$. Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$, $\arg z$.

Definendo poi tramite la formula di Eulero

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!$

(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo

$z=\rho e^{i\theta }\!$

Proprietà

Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$, con $z_{1}=x_{1}+iy_{1}=\rho _{1}e^{i\theta _{1}}$ e $z_{2}=x_{2}+iy_{2}=\rho _{2}e^{i\theta _{1}}$. Avremo:

1. $\rho _{1}=|z_{1}|\,$
2. $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$
3. $z_{1}z_{2}=\rho _{1}\rho _{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$
4. $z_{1}/z_{2}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$
5. $z_{1}^{n}=\rho _{1}^{n}e^{in\theta _{1}}\qquad n\in \mathbb {Z}$
6. ${\sqrt[{n}]{z_{1}}}={\sqrt[{n}]{\rho _{1}}}e^{i({\frac {\theta _{1}}{n}}+{\frac {k2\pi }{n}})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$

Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza, e di conseguenza si può considerare $\mathbb {C}$ uno spazio metrico.