Analisi complessa/Funzioni elementari

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Definiremo ora una serie di funzioni sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.

Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.

Esponenziale[modifica]

La funzione esponenziale sul campo complesso è definita come

ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale,

Inoltre è periodica con periodo 2i, infatti si ha:

.

Funzioni trigonometriche ed iperboliche[modifica]

Seno e coseno[modifica]

Le funzioni trigonometriche si definiscono a partire dall'esponenziale, come:

;

sono analitiche ed hanno rispettivamente derivate

.

Valgono le formule di addizione, duplicazione, prostaferesi formalmente uguali a quelle del campo reale.

Osservazione: Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.

Funzioni iperboliche[modifica]

Le funzioni iperboliche sono definite da:

Le rispettive derivate sono:

;

oltre alle solite relazioni valide sul campo reale, si hanno

Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.

Logaritmo[modifica]

Definiamo la funzione logaritmo come la soluzione dell'equazione .

Scrivendo è chiaro come esistano più soluzioni, della forma

Ciascuna delle soluzioni, con k fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su tranne che nell'origine e lungo un raggio (branch cut), ed ha derivata

.

Potenze con esponenti complessi[modifica]

Per e definiamo

.

Tale funzione coincide, per , con i valori di definiti sulla base delle proprietà algebriche dei numeri complessi; in generale è però una funzione a molti valori, con branche che corrispondono alla branca scelta per la funzione logaritmo,

.

è analitica nel dominio in cui è analitica la funzione logaritmo, e ha derivata:

Funzione esponenziale con base c[modifica]

La funzione esponenziale con base c si definisce come

ed è una funzione intera quando venga scelta una qualsiasi branca di ed ha derivata: